SUI PRINCIPI CHE REGGONO LA GEOMETRIA DI POSIZIONE 469 



Si osservi ancora che dalle relazioni c~€ {eaf), c'~e {ea'f), 

 {a'ec) oiaec) segue (P24 § 8, P19 § 9) («/"e) u la u ic o («'/"e'); 

 sicché la stessa PIO §13 si può anche invocare per la trasfor- 

 mazione T inversa di t (P15) e pei punti a' ,f ,c' ,a,f {=^f'), e: 

 dunque esisterà nel segmento [afe) un punto unito y sì fatto, 

 che se li er-^ (a' c'i/)^ia'-^iy, il punto u non è unito. E poiché 

 da (afe) [a' f e'), c'è {a e a') ed ye{afc) si deduce [(ti)P17§9] 

 che da w~e {acy) segue w~ e (ci'c'y), a fortiori non potrà essere 

 unito alcun punto della figura r~ (a e «/)~ia'~ ly. Questo fatto, 

 e il somigliante già trovato per z, ove si guardi che ninno dei 

 punti «; a' è, per ipotesi, unito, permettono di asserire qualmente: 



Mer ~ (ac^) ~ 10 . u .uer ^ [acy] ~ ly : o„ . m — =:= tm 



Non è detto che debba essere z diverso da e, oydaf: ma i punti 

 y, z sono per certo distinti fra loro e dai punti a, e, o! , c\ ne può 

 essere z =^ f, o y ^^ e (P28§8). Ora da ze{aec) si deduce 

 zer ^{a fc), e d'altra parte y e [afe) ; dunque sarà 5; e r~ {ayc), 

 vale a dire cer^{y az), e p. e. ce [azij), (azy) = (acy), come 

 pure ce («y^), {ay z) = {acz). Ma si sa (Pll, 2, 4§8) che: 



ue{yas) . o„ : Me r ~ [azy] -^ ly .u .uer ^ i^yo) ~ i-s'; 

 pertanto : u e [yaz) . q„ . m ~ = tw. 



Infine dall'essere z^e{ac e) (che se no risulterebbe e —= re); 

 mentre y e {afe), quindi ^~e (a ec), y e {ec a), (eca) ={ey ai; si 

 deduce z-^e{eya), per conseguenza (P23 § 8) e~e {|/a«), e quindi 

 (P 21 %8) iy az) (y a e), (y az) = {y a e), secondochè z —= e, o 

 z=:e. Similmente dall'essere y~e (a'c'f) (che se no risulterebbe 

 /'~ = t/') e però anche (P16) y'^e{acf); mentre c^e{eaf), quindi 

 ce{aef), (aef) = (acf); si deduce ^~e (aef), per conseguenza 

 /■-e [eay) ed [e a y) (e af), (ea ?/) = {eaf), secondo che y^=f, 

 y = f. Ne viene che il segmento (yaz) è contenuto nel seg- 

 mento {eaf); sicché dall'ipotesi a^e{e gf), ossia g^e (eaf), am- 

 messa fin dal principio, si deduce g-^e{yaz) uxy u \z, e p. e. 

 Arm.y. gè {yaz) (P2). Tale é l'assurdo a cui si perviene; che, 

 mentre si è visto come niun punto del segmento {yaz) possa es- 

 sere unito, qui trovasi invece che l'armonico di g rispetto ad 

 y, z, il quale (P14, 5) é per certo tautologo, giace in detto 

 segmento. 



