476 LUIGI BERZOLARI 



LETTURE 



Sulle curve piane die in due dati fasci hanno un semplice 

 un doppio contatto^ oppure si osculano; 



Nota di LUIGI BERZOLARI. 



Verso la fine dell'importante lavoro che ha per titolo 

 Allgemeine Eigenschaften der algebraischen Curven (*) lo Steiner 

 ha enunciato, senza dimostrazione, che il luogo dei punti in 

 cui si toccano due curve appartenenti a due dati fasci di or- 

 dini m ed m' è dell'ordine 



(1) 2m + 2m' — 3, 



e che il numero dei punti in cai due curve di tali fasci si 

 osculano è 



(2) 3 [{m -\- 7n') (m + m' — 6) -f 2mm' -j- 5]. 



La prima di queste formolo è stata in seguito dimostrata 

 (ed anche notevolmente estesa) in più modi da vari autori (**), 

 mentre, per quanto so, non si ha ancora una dimostrazione 

 della seconda. 



In questa Nota faccio vedere come si possa pervenire a 

 quei due teoremi, per via puramente geometrica, ricorrendo a 

 semplici considerazioni di geometria dello spazio; collo stesso 

 metodo trovo anche il numero (che non credo noto) delle coppie 

 di curve che, appartenendo ai fasci proposti, hanno fra loro un 



(*) Giornale di Ceelle, Bd. XLVII, pag. 6; questo lavoro era stato già 

 presentato sei anni prima (nell'agosto del 1848) all'Accademia delle Scienze 

 di Berlino. 



(**) V., ad es., Sghdbert, Kalkul der àbzàhlenden Geometrie, § 14; e 

 Salmon, Courbes planes , Paris, 1884, pag. 500, dove, in nota, è riportato 

 anche il secondo enunciato dello Steiner. 



