SULLE CURVE PIANE CHE IN DUE DATI FASCI, ECC. 477 



doppio contatto, ed assegno inoltre i rimanenti caratteri pliic- 

 keriani del luogo sopra nominato, e quelli del luogo dei punti 

 in cui si tagliano le curve fra loro tangenti dei due fasci. 



1. — Siano e 0' i due dati fasci degli ordini m ed m\ 

 e per semplicità supponiamo che essi siano generali e non ab- 

 biano punti base comuni (*); per fissar le idee, sia m > m\ 

 Nel piano TT, in cui giacciono i fasci, scelgasi in modo del tutto 

 arbitrario una curva R' di ordine m — m', e si indichi con 0' R' 

 il fascio d'ordine ni che si ottiene da <t>' aggiungendo ad ogni 

 sua curva la curva R'. Allora i due fasci e 0' R' individuano 

 un sistema lineare tre volte infinito (qp) di curve qp d'ordine m, 

 che, com'è noto (**), si possono considerare come le imagini 

 (su TT) delle sezioni piane di una superficie algebrica F. Le 

 curve del fascio sono le imagini delle curve che s'ottengono 

 tagliando F coi piani di un determinato fascio avente per asse 

 una retta generica L dello spazio. La superficie F è dell'ordine 

 m^, e possiede una retta multipla R, che è rappresentata in TT 

 dalla curva R': le sezioni residue di F coi piani passanti per R 

 hanno per imagini le curve del fascio 0', sicché la multiplicità 

 di R per F è tn^ — ni nt', cioè m {m — m'). 



Gli ni^ punti base di sono le imagini dei punti in cui L 

 incontra F; gli ni'^ punti base di 0' sono le imagini di altret- 

 tanti punti, in cui R incontra una [m {ni — w')-i-l]™^ falda di F, 

 oltre a quelle che passano per la R stessa: in questo senso 

 tali punti, in quanto appartengono ad F, sono da considerarsi 

 come non situati sopra R. 



2. — Ciò posto, per risolvere le questioni indicate in prin- 

 cipio, occorre conoscere i caratteri pliickeriani della residua 

 intersezione di F con un piano generico passante per R, e 

 quelli del cono residuo (come inviluppo di piani) Q circoscritto 

 ad F da un punto generico della stessa R. 



(*) Il metodo che indicherò si applica del resto anche ai casi che 

 qui voglio escludere, per attenermi agli enunciati di Steiner. 



(**) Veggasi, ad es., Caporali, Sopra i sistemi lineari triplamente infiniti 

 di curve algebriche piane (Collectanea Math. in mem. D, Chelini), § 2. 



