480 LUIGI BEKZOLARI 



(8) dm^m''^ r- m'^ {m'^ — 1) 4" 2m^m' — dm^m' — Qmm'^ 



Ci 



+ 3m'3 — 6^2 — 6m'2 — hmwJ -\- 30m + 15m' — 24. 



3. — La deduzione dei teoremi di cui si è parlato non 

 presenta ormai nessuna difficoltà. In primo luogo, la curva f, 

 luogo dei punti in cui si toccano due curve dei fasci e 0', 

 è l'imagine della curva f, luogo dei punti di contatto delle 

 tangenti di F appoggiate alle rette L, R. Per avere l'ordine di 

 r, si osservi anzitutto che essa incontra L negli m^ punti che 

 questa ha in comune con F: basta quindi cercare le ulteriori 

 intersezioni di f con un piano generico <5 passante per L, e 

 queste sono tante, quante le tangenti condotte dal punto (XR 

 alla sezione di F con <J, cioè, per la (6), sono in numero di 

 w (m -h 2 m' — 3). La curva f è dunque dell'ordine 



m {m -\- 2m' — Q) -\- m^ = m {2m -f- 2m' — 3), 



opperò l'ordine di P e appunto quello dato dall'espressione (1). 



In secondo luogo, i punti in cui si osculano due curve di 

 e 0' sono le imagini dei punti di contatto delle tangenti 

 principali di F appoggiate ad L ed R: pertanto il loro numero 

 è la somma delle espressioni (4) e (7), cioè quello dato dalla (2). 



Infine le coppie di curve di e 0' che hanno fra loro un 

 doppio contatto sono tante, quante le tangenti doppie di F 

 appoggiate ad L ed R, cioè tante quant'è espresso dalla somma 

 delle (5) e (8): il loro numero è dunque 



(9) mm' [2 {m -{- m'f -f- mm! — 9 {m -|- m') -\- 1] 



— 6(m -f- m' — 1) (m -f- w' — 4). 



4. — Considerando ancora la curva f, si potrebbe ritenere 

 come evidente che essa non possiede punti multipli : ma si può 

 giungere a questa stessa conclusione determinando direttamente 

 il genere della curva, che uguaglia quello della curva obbiettiva V. 

 A tal fine si consideri la corrispondenza [1, m! {2m -\-m' — 3)] 

 che, per la (3), viene stabilita fra i punti di L e di T dalle 

 tangenti di F appoggiate alle rette L ed R. I punti di L, tali 



