482 LUIGI BERZOLARI 



si tagliano le curve fra loro tangenti dei fasci e O': l'ordine 

 di H è dunque 



2mm'{m -\- m') — 6mm' — 4 (m -{- m') -\- 6. 



Le curve f e Z passano entrambe per ciascuna delle m^ 

 intersezioni di F con L, e per ciascuno degli tn'^ punti di cui 

 si è detto alla fine del n. 1 : la f passa semplicemente per 

 tutti i punti nominati, mentre Z, per le (3) e (6), ha in ognuno 

 dei primi la multiplicità m' (2 m -\-m' — 3) — 2, ed in ognuno 

 degli altri la multiplicità m (m H- 2 m' — 3) — 2. Pertanto f 

 passa semplicemente per tutti i punti base dei fasci e <t>', mentre 

 Z' ha in essi risp. le multiplicità ora indicate (*). 



Per la rigata T, le tangenti doppie e le tangenti princi- 

 pali di F appoggiate ad L ed R sono generatrici risp. doppie 

 e stazionarie: oltre ad esse ed alle rette L, R, la rigata non 

 possiede altre linee multiple, com'è facile riconoscere uguagliando 

 il genere di una sezione piana generica di T a quello della 

 stessa T, il quale, manifestamente, è uguale a quello della 

 curva r, che si è determinato nel n. precedente. 



Ne segue, passando senz'altro al piano TT, che la curva Z' 

 ha un nodo in ogni punto di secamento di due curve dei fasci 

 dati che abbiano fra loro un doppio contatto, ed ha una cuspide 

 in ogni punto di secamento di due curve fra loro osculatrici dei 

 fasci stessi. — Inoltre le curve f e Z' si tagliano, oltre che nei 

 punti base dei due fasci, nei punti in cui si toccano due curve di 

 tali fasci che abbiano fra loro un doppio contatto, e si toccano in 

 ciascuno dei punti in cui si osculano due curve dei fasci stessi. 



Si può dimostrare rigorosamente che Z' non ha, all'infuori 

 di quelli ora enumerati, altri punti multipli, con metodo ana- 

 logo a quello del n. precedente: basta per questo considerare 

 la corrispondenza [1, m' [2 m -t ni — 3) (m m' — 2)] che, per 

 la (3), viene stabilita fra i punti di L e di Z dalle tangenti 



(*) Tutto questo si può vedere anche colla considerazione diretta dei 

 fasci ^ e <l>', ricorrendo al noto teorema, che una curva d'ordine p è toc- 

 cata da p{p-\-'2q — 3) curve di un fascio d'ordine q (v. Steiner, l. e, 

 pag. 6, e gli altri autori citati in principio). 



