SULLE CURVE PIANE CHE IN DUE DATI FASCI, ECC. 483 



di F appoggiate a L ed R, cioè dalle generatrici di T. I punti 

 di L, tali che due dei loro corrispondenti coincidano, sono: 



1) i punti d'incontro di L colle tangenti doppie di F 

 appoggiate ad L ed R: il loro numero è espresso dalla (9), e 

 ciascuno di essi deve contarsi due volte; 



2) i punti d'incontro di L colle tangenti principali di F 

 appoggiate ad L ed R, ciascuno contato m m! — 2 volte ; 



3) le m^ intersezioni di L con F, ciascuna contata 

 m m' — 2 volte ; 



4) i 3 (m' — 1)- punti d'incontro di L coi piani passanti 

 per R e tangenti ad F in un punto esterno ad R, ciascuno con- 

 tato m m' — 2 volte. 



Chiamando quindi pi il genere di (Z cioè di) Z', la formola 

 già usata di Zeuthen dà: 



2 (;)i — 1) + 2m' (m' + 2^ — 3) {mm! — 2) 



= 2 { mm' [2 [m -\- m'f' — 9 (m -j- m') -\- mm' -\- 1] 



— 6 [m -j- m' — 1) {m -\- vn' — 4) ( 



-}- 3 [(m -f m') [m + m' — 6) + 2mm' + 5] {mm' — 2) 



+ m^{mm' — 2) + 3(m' — 1)^ {mm' — 2), 



da cui si deduce: 



p^ = 2 {m -\- m' — 4) { (m -[- m') (2mm' — 5) — mm' -\- 4 j 

 -|- mm' {mm' -\~ 2) — 9, 



come appunto si ricava dalle formolo di Plììcker quando si 

 attribuiscano alla curva Z', come luogo, i soli caratteri sopra 

 indicati. 



6. — Non è senza interesse riavvicinare i nostri risultati 

 a quelli stabiliti in generale dallo Zeuthen (*) per una qualunque 



(*) Rechefche des singularités qui ont rapport à une droite multiple d'une 

 surface (Math. Ann., Bd. IV, pag. 1). — V. anche le osservazioni dello 

 stesso A. nella Note sur la théorie de surfaces réciproques, a pag. 633 dello 

 stesso volume dei Math. Ann. 



