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può definirsi come genere della curva t- Chiamandolo p si avrà 



v = 2n + 2^ — 2 



pel numero dei punti doppi di una serie lineare qualunque, il 

 cui ordine sia n, sulla t. 



Ricordiamo pure che se un punto di t è s — pio per un 

 gruppo di una serie lineare (s>2), esso va considerato come 

 equivalente ad s — 1 punti doppi. 



2. Sopra una superficie algebrica F consideriamo un fascio 

 dì curve (irriducibili), cioè l'insieme delle curve T intersezioni 

 variabili di F con un fascio di superficie algebriche (o di M,._i 

 se si è in S^). Diciamo p il genere del fascio, cioè di una T ge- 

 nerica; a il numero dei punti base (a tangenti variabili (*)) del 

 fascio ; b il numero dei punti doppi di curve del fascio che cadono 

 fuori dei punti base e fuori dei luoghi (eventuali) di punti mul- 

 tipli delle curve generiche del fascio (**). Ci proponiamo di cer- 

 care una funzione di p, a, b, che non muti al mutare del fascio 

 T su F, cioè che non muti sostituendo a quei tre numeri gli 

 analoghi p', a', ò' relativi ad un altro fascio di curve, t', della 

 stessa superficie. A tal fine è chiaro che, per semplificare, si può 

 supporre che i due fasci t, t' siano indipendenti fra loro, e quindi 

 senza punti base comuni, ecc. Inoltre si può supporre che le t 

 e le t' si taglino in un numero di punti m>2. Si potrà quindi 

 considerare la curva T luogo dei punti di contatto delle t con 

 le t'. Noi determineremo il genere tt di T ricorrendo alle due 



(*) Si vedrà dal seguito fino a qual punto questa restrizione e quella 

 dell'irriducibilità delle curve, non che altre che supporremo relative alle 

 superficie e varietà da considerare, sian necessarie. 



Non sarà forse inutile avvertire che le cose contenute in questa Nota 

 hanno un'origine didattica (mentre d'altra parte si collegano alla mia ci- 

 tata Introduzione) : esse datano dal 1893, e furono esposte, per quel che 

 riguarda le superficie e tolto solo qualche particolare secondario, nelle 

 mie Lezioni del 1893-94, con speciali applicazioni alle superficie razionali 

 ed ai sistemi lineari di curve piane. 



(**) È un luogo sì fatto la linea multipla di F, se il fascio di superficie 

 che stacca le Y non l'ha per linea base. Il numero 6 si riferisce a punti 

 situati fuori di quella linea (almeno in generale ; cfr. il seguito). 



