INTORNO AD UN CARATTERE DELLE SUPERFICIE, ECC. 487 



serie lineari che su T sono staccate dai due fasci t, t'; ^ con- 

 frontando le due determinazioni otterremo la relazione cercata. 

 Su una T generica il fascio t' sega una serie lineare d'or- 

 dine m, che avrà (n. 1) 



N = 2m + 2p — 2 



punti doppi: tanti saranno dunque i punti variabili del luogo 

 T, che stanno sulla t generica. Al variare della T quel gruppo 

 di punti descriverà su T una serie lineare, che indicherò con g, 

 d'ordine N. Similmente su una y' generica si hanno 



N' = 2m + 2/ — 2 



punti variabili di T : e ne deriva su questa curva una seconda 

 serie lineare, che dirò g', il cui ordine sarà N'. — Cerchiamo i 

 punti doppi di queste serie, ad esempio della g. 



3. Anzitutto se su una f coincidono due degli N punti 

 suddetti in un punto che non sia ne singolare per la t, ne punto 

 base per le t', nel punto stesso dovrà (v. la fine del n. 1) es- 

 servi un contatto tripunto della j con una t'- Diciamo t il nu- 

 mero dei punti di F, in cui vi è contatto tripunto fra una j ed 

 una t': essi daranno altrettanti punti doppi della g. Si vede 

 che se una t ha un contatto s — punto con una t', coincidono 

 s — 1 suoi punti d' incontro con T, e quindi coincidono s — 2 

 punti doppi della g : il contatto s — punto influirà per s — 2 

 unità nel numero t dei contatti tripunti. 



In secondo luogo se una t ha un punto doppio A, che non sia 

 né in un punto base, ne su un luogo di punti doppi del fascio, 

 vale a dire se la t ha uno dei ò punti doppi su nominati, il 

 suo genere si ridurrà a p — 1 ; e quindi pel n. 1 le t' propria- 

 mente tangenti alla t si ridurranno a sole N — 2 , cioè la t' 

 che passa per A assorbirà due delle N t' tangenti a T- .Segue 

 che i b punti doppi di curve t sono punti doppi per la serie 

 lineare g dì T. — Si osservi però che se A fosse in particolare 

 una cuspide (ordinaria) per la t, allora la y' per A sarebbe da 

 contare fra le dette N — 2 curve t' tangenti alla y; e quindi A 

 sarebbe non solo doppio, ma triplo per la serie g di T, ossia 



