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influirebbe per 2 unità nel numero ò. — Se poi A è per la y un 



punto s — pio ordinario, che diminuisce il genere p di ^ ~ 



unità, segue ancora dal n. 1 che fuori di A cadono N — s {s — 1) 

 punti variabili del luogo T, sicché A equivale ad s {s — 1) in- 

 tersezioni della Y 6 di T. Ora poiché la t ha s rami distinti 

 passanti per A, si può concludere che A sarà (s — 1) — pio per 

 T e con tangenti diverse da quelle della t- Ammesso poi che 

 i rami completi di T passanti per quel punto sian tutti distinti, 

 essi saranno s — 1 e su ognuno di essi la y sega A come punto 

 s — pio della serie lineare g. Onde in A cadono s — 1 punti 

 s — pli di questa serie, il che equivale ad (s — 1)^ punti doppi. 

 Il punto A influisce dunque per (s — 1)^ unità sul numero ò. 



In terzo luogo consideriamo un punto B' che sia punto base 

 s' — pio {s'>l) pel fascio y'- Sulla y che passa per esso la serie 

 staccata dalle y' avrà solo più m — s' punti variabili, e quindi 

 fuori di B' avrà solo N — 2s' punti doppi: in B' cadranno 2s' 

 intersezioni della y col luogo T. Per determinare la multipli- 

 cità di B' per questo luogo, osserviamo che nel fascio y' vi sono 

 in generale 2 s' — 2 curve, per le quali coincidono due delle s' 

 tangenti in B', ossia per le quali B' diventa un punto di dira- 

 mazione (su un ciclo ramo completo di 2<^ ordine). Se su una 

 di queste particolari y' si considera la serie segata dal fascio y, 

 si vede che essa avrà B' per punto doppio; sicché quando una 

 y' generica viene a cadere in quella, delle N' sue intersezioni 

 variabili con T una viene in B'. Dunque ognuna delle 2 s' — 2 

 curve y' nominate é tangente in B' a T. L'unica curva ulteriore 

 del fascio y' che riesca tangente a T in B' si vede similmente 

 esser quella che tocca in B' la y passante per questo punto. 

 Siccome poi, come dicemmo, questa Y ha con T un incontro 

 (2s') — punto in B', cosi concludiamo che B' è multiplo secondo 

 2s' — 1 per T, e che dei 2 s' — 1 rami completi di questa curva 

 i quali passano per B' uno solo é tangente (semplicemente) alla y- 

 Dunque in B' cade un solo punto doppio della serie g segata su T 

 dal fascio y (*)• — Da questo ragionamento risulta pure che. 



(*) Ciò non varrebbe più se il fascio y' avesse in B' tutte le s' tangenti 

 fisse, cioè se nel detto fascio vi fosse una y' che avesse in B' multiplicità 

 «' -}- 1. Allora facendo le necessarie modificazioni al ragionamento prece- 



