INTORNO AD UN CARATTERE DELLE SUPERFICIE, ECC. 489 



mentre i a' punti base del fascio y' danno altrettanti punti 

 doppi della serie ^ su T, i punti base del fascio t non sono 

 punti doppi di questa serie. 



4. Applicando ora la formola del n. 1 ai punti doppi che 

 abbiamo enumerati della serie g d'ordine N, sulla curva T di 

 genere n, abbiamo 



T + ò 4- a' = 2N -j- 2Tt — 2, 

 ossia 



(1) T + ò + a' = 4m + 2tt + 4^ — 6. 



Similmente dalla serie g' d'ordine W si avrà: 



(2) T + ò' -f a = 4m + 2tt -f ip' — 6. 

 Sottraendo membro a membro queste due formolo si ha 



(3) ò — a — ip = ò' — o' — 4y, 



che è la relazione cercata. Essa dice che su una data superfìcie 

 il numero dei punti doppi staccati di curve di un fascio diminuito 

 del numero dei punti base di questo fascio e di 4 volte il genere 

 di questo dà un numero che non muta se si cambia il fascio di 

 curve, e costituisce quindi un carattere proprio della superficie (*). 



dente si vede clie T verrebbe ad avere in generale in B' multiplicità 2s' 

 senza alcun contatto (proprio od improprio) con la y passante per quel 

 punto: sicché B' non sarebbe più punto doppio per la serie g di T. 



(*) La proposizione si estende anche a casi che non abbiamo conside- 

 rati. Così se il fascio y' ammette un punto base semplice B' con la tangente 

 fissa, questo dovrebb'essere sottratto dal numero complessivo o' nella re- 

 lazione (1): V. la nota preced". D'altra parte tenendo conto che B' viene 

 ad essere punto doppio per una y' ed anche per T, si scorge tosto che 

 esso dovrebb'esser tolto dal numero dei punti doppi della serie g di T 

 cioè dal 1° membro della (2), ossia da b'. Segue, passando alla (3), che 

 questa rimane valida tal quale, purché il punto B' non si computi nh nel 

 numero o' dei punti base, ne nel numero ò' dei punti doppi del fascio f', 

 oppure purché si conti una volta in ciascuno di quei due numeri (od anche 

 per 2 unità in entrambi i numeri, come da ragioni di limite si sarebbe 

 indotti a fare). 



