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Chiamando P questo carattere della superfìcie, potremo dire 

 che un fascio di curve tracciato su questa, del genere p, con (J 

 punti base, ha un numero di punti doppi staccati espresso da 



(4) ò = a + 4^ -f P: 



in altre parole questo sarà il numero delle superficie tangenti 

 alla superficie data, in un fascio di superficie la cui intersezione 

 variabile con questa abbia il genere p ed abbia G punti fissi (sem- 

 plici multipli). 



Dal precedente n. 3 risulta pure che un punto il quale sia 

 s — pio (staccato) per una curva del fascio va contato come 

 equivalente ad [s — 1)^ punti doppi. — Se la superficie F ha un 

 punto s — pio staccato A e si applicano le cose esposte nei n^ 

 2, 3 a due fasci di curve y, t' ottenuti con fasci di superfìcie 

 non passanti per A, questo punto sarà s — pio tanto per una t 

 quanto per una t': e l'influenza che esso avrà sui numeri ò, ò' 

 delle relazioni (1), (2) scomparirà nella sottrazione, cioè nel pas- 

 saggio alla relazione (3). Si può quindi fissarla, in questo caso, 

 anche diversa da (s — 1)^. Conviene assumere (*) che nella de- 

 finizione del carattere P di una superficie un punto s — pio 

 staccato ordinario di questa conti come s — 1 punti di contatto 

 ordinario con le superficie di un fascio, del quale il punto 

 stesso non sia punto base. 



5. Se della superficie F si chiamano n l'ordine, v la classe, 

 p il genere delle sue sezioni piane, e si applica la definizione 

 del carattere P ad un fascio generico di sezioni piane, si ha 



(5) P = V — n — 4p. 



Se si chiama r il rango della superficie, e a l'ordine della sua 

 linea cuspidale, sicché r -\- c = 2n -\-2p — 2, si avrà, elimi- 

 nando p: 



(6) P = V — 2r -|- 3« — 2c — 4. 



Tanto in questa formola, quanto nella (5), secondo la conven- 



(*) Cfr., ad esempio, la nota seguente. 



