INTORNO AD UN CARATTERE DELLE SUPERFICIE, ECC. 491 



zione fatta, si aggiungerà (s — 1) al 2° membro per ogni punto 

 s — pio staccato ordinario che la superfìcie avesse (*). 



Nella (6) si riconosce un'espressione già incontrata dal 

 signor Zeuthen nella ricerca fondamentale di caratteri della 

 superficie invariabili per trasformazioni birazionali (**). La stessa 

 espressione fu poi considerata di nuovo dal signor Noether (***); 

 indicando con p e p^^^ rispettivamente quei numeri che egli 

 chiama Fldchengeschlecht e Curvengeschlecht della superficie F, 

 quest'ultimo scienziato trova che l'espressione (6) di P equi- 

 vale a 



12p — p(i) -f 9, 



almeno se si fanno opportune riserve relativamente alle singo- 

 larità di F. Su ciò, e su qualche raffronto che si potrebbe fare 

 tra il ragionamento che ci ha condotti al carattere P ed i ra- 

 gionamenti di quei due illustri scienziati, per brevità non mi 

 trattengo. 



Osserverò invece come dalla (5) risulti che per una super- 

 ficie generale d'ordine n è 



P == (w — 2) («2 — 2w + 2); 

 per una rigata sghemba di qualunque ordine e di genere p è 



F = - ip; 



(*) Qui si può già vedere l'opportunità della detta convenzione in ci6 

 che essa permette di applicare la definizione del carattere P anche ricor- 

 rendo ad un fascio di curve di cui quel punto s — pio sia punto base. 

 Consideriamo in fatti un fascio di sezioni piane passanti per questo : il suo 



genere sarà p g— , il numero dei suoi punti base n — s -[- 1, il numero 



dei suoi punti doppi fuori di questi v — 2s(s — 1); per conseguenza l'e- 

 spressione h — a — 4/j del n" preced."^ diventa pel fascio attuale v — n — 4p 

 + is-l). 



(**) V. ad esempio il n. 24 delle Études géométriques de quelques-unes 

 des propriétés de deux surfaces doni les points se correspondent un-à-un. Math. 

 Annalen, t. IV (1871). 



(***) Zur Theorie des eindeutigen Entsprechens algébraischer Gebilde 

 (2« Aufsatz). Math. Ann., t. Vili (1874). 



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