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ecc., ecc. — Applicando questi risultati al problema dei con- 

 tatti della superficie data con superficie di un fascio si ha ad 

 esempio: in un fascio di superficie d'ordine \x vi sono in generale 

 n\x^ -\- 4{n — p) superficie tangenti ad una data rigata sghemba 

 d'ordine n e genere p, se tx è il genere della curva d'intersezione 

 della superficie generica del fascio con la rigata; ecc., ecc. 



Nel caso che la superficie data sia un piano, si vede che 

 il suo carattere sarà P= — 1. Si ritrova così la nota proposi- 

 zione: in un fascio di curve piane di genere p, con G punti base, 

 vi sono in generale 



a -{- ip — 1 

 curve dotate di punti doppi fuori del punti base (*). 



6. Quando di una superficie si sia calcolato il carattere P, 

 introducendolo mediante la formola (4) del n. 4 nella (1), questa 

 diventa 



(7) X _ 2Tr = 4w — (a + a') — 6 — P. 



Questa relazione permette di calcolare t, cioè il numero delle 

 coppie di curve dei due fasci con contatto tripunto, quando si 

 sappia determinare il genere k della curva T. — Ad esempio, 

 se si è nel piano, e se si conoscono anche gli ordini n, n' dei 

 due fasci di curve t e t', tt si può avere subito. Dal ragionamento 



(*) Il sig. Cremona nello Bcritto Sopra alcune questioni nella teoria delle 

 curve piane (Annali di mat., t. VI, 1864) determinò il numero dei punti 

 doppi di un fascio di curve piane, fuori dei punti base, in molti casi; tra 

 cui quello nel quale i punti base siano di multiplicità qualunque, con le 

 tangenti variabili. Introducendo nella formola del Cremona il genere, il 

 Caporali la mise nella forma sopra scritta: v. il n. 13 della Memoria 

 Sopra i sistemi lineari triplamente infiniti di curve algebriche piic^ne (Collect. 

 mathem. in mem. Chelini, 1881). — Il sig. Guccia ha poi trattato la stessa 

 questione nelle sue Lezioni di Geometria superiore (litogr., Palermo, 1890), 

 e per singolarità superiori del fascio di curve piane nel § 8 delle sue 

 Ricerche sui sistemi lineari di curve algebriche piane, dotati di singolarità 

 ordinarie, Mem. II (Rendiconti del Circolo mat." di Palermo, t. IX, 1895). 



