INTORNO AD UN CARATTERE DELLE SUPERFICIE, ECC. 493 



del n. 3 segue infatti che le sole multiplicità di T si hanno in 

 generale nei punti base dei due fasci, e precisamente in un 

 punto base s — pio la multiplicità 2s — 1 : contando gl'incontri 

 di T con una curva generica di un fascio si trae che l'ordine 

 di T è 2n -\-2n' — 3 ; e poi basandosi su questo e sulle dette 

 multiplicità di T si calcola subito: 



TT = imi -\- Qip -{- p') — (cy + a') — 2. 



Sostituendo nella (7) in cui si ponga P = — 1 ed m = nn', si ha 



T = 12(nn' -\-p +p') — 3(a -f a') — 9 



come numero dei contatti tripunti tra curve di ordini n, n' e ge- 

 neri p, p' di due fasci di curve piane con (J, a' punti base or- 

 dinari (*). 



Si può aggiungere a queste formolo un' altra relativa al 

 numero d delle coppie di curve dei due fasci che hanno fra loro doppio 

 contatto. Una coppia di punti di contatto fra una T ed una t' 

 costituisce sulla curva ausiliaria T una coppia comune alle due 

 serie lineari d'ordini N, N' considerate al n. 2. Però fra le 

 coppie comuni a queste due serie vi sono anche quelle costituite 

 da due punti coincidenti, provenienti dalle coppie di curve t> t' 

 aventi contatto tripunto. Quindi, applicando la nota formola (**) 

 relativa alle coppie comuni a due serie lineari (oo^) sopra un 

 ente di genere tt, avremo 



(^ -I- T = (N — 1) (N' — 1) — 7T, 



ossia 



(*) Nel caso di due fasci generali degli ordini n, n quella formola si 

 riduce ad una data da Steiner alla fine della sua Nota Allgemeine Eigen- 

 schaften der algebraischen Curven (Berliner Berichte 1848; Werke II, p. 495). 

 Cfr. anche la Nota del sig. Berzolari Sulle curve piane che in due dati fasci 

 hanno un semplice o un doppio contatto, oppure si osculano: Nota che pre- 

 sento all'Accademia con questa mia, e che mi ha eccitato a riprendere, 

 per pubblicarle, le cose qui esposte, e preparate, come dissi (v. nota al 

 n. 2), alcuni anni addietro. 



(**) Cfr., ad esempio, la mia citata Introduzione, n. 35. 



