494 CORRADO SEGRE 



(8) c^ + T + TT = (2m + 2^ — 3) (2m + 2p' — 3). 



Questa formola si può unire con la (7) ; e si può, ad esempio, 

 eliminare da esse ir oppure t. — Se si è nel piano si può sen- 

 z'altro porre nella (8) per tt e per t i valori dianzi calcolati, 

 e così si ottiene pel numero dei doppi contatti tra curve di or- 

 dini n,n' e generi p , p' di due fasci di curve piane con a , a' punti 

 base ordinari l'espressione (*) 



d = 4: \n^n'^ + {nn' — 6) {p +/) + pp' — 7nn' + (T -f a' + 5]. 



7. Nel n. 5 abbiamo citato le ricerche dei sigi Noether e 

 Zeuthen relative a caratteri di una superficie invariabili per 

 trasformazioni birazionali di questa. Considerando il carattere P 

 da questo punto di vista facciamo alcune brevi osservazioni (**). 



Se fra i punti di due superficie algebriche ha luogo una 

 corrispondenza birazionale priva di punti fondamentali su en- 

 trambe le superficie, cioè di punti a cui corrispondano linee, 

 allora ad un fascio di curve dell'una corrisponderà sull'altra un 

 fascio di curve, dello stesso genere, con lo stesso numero di 

 punti base, con lo stesso numero di punti doppi staccati. Quindi 

 le due superficie avranno lo stesso carattere P. — Si sa che il 

 Clebsch (***) ha proposto di distinguere le superfìcie algebriche 

 in tipi, chiamando " di uno stesso tipo „ Hue superfìcie quando 

 si possono riferire tra loro biunivocamente nel modo detto. 

 Adottando quella distinzione potremo dire che : per le superficie 

 di uno stesso tipo il carattere P ha lo stesso valore. 



Abbiasi ora, piti in generale, una corrispondenza birazio- 



(*) V. pel caso di due fasci generali di ordini n, n' la citata Nota del 

 sig. Berzolari. 



(**) Per maggior semplicità considero superficie che non abbiano punti 

 multipli staccati : sebbene l'esistenza di tali punti non produrrebbe difficoltà 

 essenziali; ed inoltre, applicando le osservazioni che faremo a superficie 

 dotate di i^unti multipli staccati si avrebbe una nuova prova dell'opportu- 

 nità della convenzione fatta su quei punti alla fine del n. 4. 



(***) Ueher die geradlinigen Flàchen vom Geschlechte p = (Math. Ann., 

 t. V). V. il § 8. 



