INTORNO AD UN CARATTERE DELLE SUPERFICIE, ECC. 495 



naie tra due superficie F, Fj, tale che su queste vi siano ri- 

 spettivamente i; il punti fondamentali; sicché su Fj, F avremo 

 rispettivamente i, i^ linee fondamentali corrispondenti a quei 

 punti. Consideriamo in F un fascio di curve, staccato mediante 

 un fascio di superficie in posizione generale rispetto ai punti 

 e linee fondamentali di F : sia ^ il suo genere, cr il numero dei 

 suoi punti base, b il numero dei suoi punti doppi (staccati) fuori 

 di questi. Gli corrisponderà su F^ un fascio di curve dello stesso 

 genere p, del quale dirò a^ il numero dei punti base e bj il nu- 

 mero dei punti doppi staccati. Al fatto che le linee del l'' fascio 

 incontrano ogni linea fondamentale di F corrisponderà il passare 

 di tutte le linee del 2" fascio per ciascun punto fondamentale di 

 Fi; onde G-y^:^(3~\-ii. Quanto ai bj punti doppi del 2° fascio, parte 

 corrisponderanno ai b punti doppi del 1^ fascio; e gli altri agli i 

 punti fondamentali di F, giacche una curva del l'' fascio che 

 passi per uno di questi punti fondamentali ha per corrispondente 

 su Fi una curva che contiene come parte la linea fondamentale 

 omologa, e precisamente in modo che l'altra componente incontra 

 questa linea fondamentale, fuori dei punti fondamentali, in un sol 

 punto, corrispondente ad mia direzione uscente dal punto fonda- 

 mentale di F (*). Si ha dunque: bj = b -|- *'. Chiamando ora P 

 e Pi i caratteri di F, Fj , e calcolandoli (n. 4) rispettivamente 

 coi due fasci considerati, abbiamo 



(9) Pi _ P = j _ i,. 



Dunque: quando tra due superficie algebriche ha luogo una cor- 

 rispondenza hirazionale con soli punti fondamentali ordinari, la 

 differenza fra il ìiumero dei punti fondamentali che stanno sulle 

 due superficie è uguale e opposta alla differenza tra i caratteri di 

 queste. In particolare se la corrispondenza ha luogo tra i punti 

 di due superficie coincidenti, il numero dei punti fondamentali sarà 

 lo stesso per entrambe (**). 



(*) È facile vedere che l'esistenza, in questo caso, di curve riducibili 

 non toglie di applicare le cose esposte prima, sebbene le curve siffatte 

 fossero escluse. 



(**) Merita di esser ricordato che questa proposizione, pel caso di due 



