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Possiamo enunciare queste proposizioni anche in altro modo, 

 riferendole ai sistemi lineari di curve che sull'una superficie cor- 

 rispondono alle sezioni piane (od iperpiane) dell'altra. Avremo: 

 un sistema lineare di curve tracciato su una superficie F e rap- 

 presentativo di un'altra superficie F^ dà come eccesso del numero 

 dei suoi punti fondamentali (supposti ordinari) sul mimerò delle 

 sue linee fondamentali la differenza Pi — P tra i caratteri delle 

 due superficie. Per conseguenza se la superficie F si trasforma 

 birazionalmente in se stessa, verrà trasformato il sistema lineare 

 di curve in un altro sistema, il quale potrà avere altri numeri 

 di punti e di linee fondamentali, ma conserverà invariato l'ec- 

 cesso dell'un numero sull' altro, giacche non muteranno i due 

 caratteri P, P^. In particolare se si tratta di un sistema lineare 

 di curve piane, vediamo che il detto eccesso è invariabile per 

 trasformazioni birazionali del piano e ne troviamo una spiega- 

 zione nel fatto che esso diminuito di 1 dà il carattere Pi della 

 superficie che è rappresentata da quel sistema lineare. — 



Le cose ora esposte si potevano anche derivare dalle Mem® 

 citate, e più specialmente da quella del sig, Noether (cfr. ad 

 es*» il § 6 della detta Mem*). Si osservi, a questo riguardo, che 

 il numero P -f" * > somma del carattere della superficie F col 

 numero dei suoi punti fondamentali, è uguale al numero analogo 

 relativo alla superficie F] . E si noti pure che l'esistenza su Fi , 

 ad esempio, di punti fondamentali non sarà possibile se su F 

 non esistono di quelle linee che il sig, Noether medesimo ha 

 chiamato " ausgezeichnete „. — D'altra parte è ben noto che 

 dell' eccesso su nominato, per un sistema lineare qualunque di 

 curve piane, si occupò molto estesamente, specialmente per la 

 sua invariantività, il sig. Jung nei suoi lavori sui sistemi lineari 

 di curve piane (*), 



piani, fu dimostrata dal Cremona appunto con la considerazione del numero 

 dei punti doppi delle curve del fascio che sopra l'un piano corrisponde ad 

 un fascio di rette dell'altro {Sulle trasformazioni geometriche delle figure 

 piane, Mem. 2*, § 5 : Mem. Accad. Bologna (2) V, 1865). 



(*) Ricerche sui sistemi lineari di curve piane algebriche, ecc. (Annali di 

 mat. (2), 15 e 16 (1888, 1889) ). — Sull'eccesso degli elementi fondamentali 

 di un sistema lineare (Rend. Ist. Lomb. (2), 21 (1888)). — V. anche: Sul 

 numero delle curve degeneri contenute in un fascio (ibid.). 



