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nel caso che il fascio F' abbia la curva base t' semplice, ma 

 abbia pure su y' dei punti base multipli ordinari, la cui multi- 

 plicità in genere indichiamo con s', sarà invece: 



N' = a' -f 4p 4- F — r{s' — 1). 



Cerchiamo ora i punti doppi delle due serie lineari, ad 

 esempio di g. 



Anche qui, le coincidenze di due degli N punti doppi del 

 fascio di curve che abbiam considerato sulla F potranno general- 

 mente avvenire in tre modi diversi. 



1° Senza abbassamento del carattere P o del numero dei 

 punti base del detto fascio, pel fatto che in questo vi è una 

 curva dotata di cuspide, fuori dei punti base (veggasi nel n. 3 

 l'osservazione relativa alle cuspidi). Diremo t il numero dei con- 

 tatti stazionari tra superfìcie F ed F', cioè dei punti (non base) 

 che sono cuspidi per curve comuni ad F ed F'. 



2^ Perchè la superficie F ha carattere minore di quello P 

 delle F generiche. Noi ammettiamo che ciò avvenga solo per 

 l'acquisto che la F faccia di un punto doppio. Allora su F il 

 fascio di curve considerato ammetterà solo N — 2 punti doppi 

 (staccati) fuori di quello: cioè in quello vi sarà una coincidenza 

 di due degli N punti considerati su una F generica. Diremo ò 

 il numero dei punti doppi di superficie del fascio F (staccati, 

 cioè all'infuori dei punti base multipli e all'infuori dei luoghi di 

 punti multipli della Mg). 



3° Perchè s'abbassa il numero dei punti base del fascio 

 di curve della F. In generale ciò accadrà per quelle F che son 

 tangenti alla curva t' base del fascio F': il loro numero è (n. 1) 

 2cr -{- 2p' — 2. Se t' non ha punti multipli — sia poi essa curva 

 base semplice oppure multipla pel fascio F', — questo caso non 

 potrà accadere in altro modo. Ma se y' ha punti multipli, anche 

 le superficie F che passano per questi dovranno esser conside- 

 rate. Non stiamo ad esaminare completamente la cosa: limitia- 

 moci al caso di cui già abbiam tenuto conto precedentemente 

 che le F' abbiano una linea base semplice e, su questa, dei 

 punti base multipli; e consideriamo uno, B', di questi punti e 

 sia s' la sua multiplicità per le F', sicché i coni tangenti in 

 esso a queste superficie formino un fascio generale d'ordine s\ 



