INTORNO AD UN CARATTERE DELLE SUPERFICIE, ECC. 499 



Si vede allora (analogamente al ragionamento fatto al n. 3, 

 pel S** caso) che la curva T passa in generale per B' con 

 3(s' — 1)^ rami tangenti alle generatrici doppie di coni del detto 

 fascio e con altri 2s' — 2 rami tangenti alle generatrici di con- 

 tatto di coni del fascio medesimo col piano tangente in B' alla F 

 che vi passa. D'altronde su questa F, pel fascio di curve d'in- 

 tersezione con le F', il numero (J dei punti base sarà diminuito 



di s'^ — 1 ed il genere p di ^ ~ ; sicché degli N punti d'in- 



contro variabili di T con la F il punto B' ne assorbirà (s'^ — 1) H- 

 + 2s' {s' — 1) ossia 3(s' — l)^ + 2 {2s' — 2). Segue che i rami 

 nominati di T sono tutti lineari, e che gli ultimi 2s — 2 sono 

 semplicemente toccati in B' da quella F: sicché in B' cadranno 

 2s' — 2 punti doppi della serie g di T. 



9. Applicando ora alla curva T di genere tt, ed alla sua serie 

 lineare g, della quale abbiamo enumerato i punti doppi, la for- 

 mola del n. 1, avremo, nel detto caso speciale 



T 4- ò -f (2(J + 2^' — 2) + 2r(s' — 1) = 2N + 2it — 2, 



formola che rimarrà valida anche nel caso generale, se vi si 

 sopprime il simbolo sommatorio che vi compare. — Con questa 

 convenzione, e ponendovi per N il corrispondente valore, essa 

 diventa 



(10) T — 2tt — 8p-|-ò— 2P + 2/-h2I(s — l)4-2I'(s'— 1) = 0. 

 Analogamente sarà: 



(11) T — 2n — 8p-\-b' — 2F'-^2p-\-2I.'{s'—l)-t2T{s — l) = 0. 



Sottraendo membro a membro avremo, tanto nel caso ge- 

 nerale, quanto nel detto caso speciale: 



(12) ò — 2^ — 2P = b' — 2/ — 2F. 



Ossia : su una data varietà a tre dimensioni il numero dei punti 

 doppi staccati di superficie di un fascio, diminuito del doppio ge- 

 nere della curva base {semplice o ìmdtipla) e del doppio carattere 



