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delle superfìcie generiche dà un numero che non muta se si cambia 

 il fascio di superficie, e costituisce quindi un carattere 'proprio della 

 varietà a tre dimensioni (*). 



Indicando con IT il carattere della Mg che così abbiamo de- 

 finito, sarà poi 



(13) ò = 2p 4- 2P -f n; 



questa formola determinerà il numero delle superficie dotate di 

 punti doppi staccati, in un fascio dato della Mg, quando si conosca 

 il genere p della curva base ed il carattere P della superficie 

 generica del fascio. 



10. Ad esempio, per lo spazio ordinario possiamo determi- 

 nare il carattere TT mediante un fascio di piani: si ha così TT = 2. 

 Ne segue che nello spazio ordinario un fascio di superfìcie, di 

 carattere P, con la curva base del genere p, ha in generale, fuori 

 di questa curva 



(14) 2(P-h^4-l) 



punti doppi. — La curva base può esser semplice o multipla; e 

 se è semplice può aver dei nodi, ed anche contenere dei punti 

 base multipli pel fascio. — Se si tratta di un fascio generale 

 di superficie d'ordine n, sicché (n. 5) P = (w — 2) [n^ — 2n -\- 2), 

 e p=n^ — 2n^-\-l, viene come numero di punti doppi 4 (n — 1)^': 

 com'è ben noto. Se il fascio di superficie d'ordine n ha un punto 

 base s — pio, questo abbassa il valore di P ora scritto di 



(*) Oltre che nei casi esposti , questo teorema vale anche se la curva 

 base del fascio di superficie è semplice ma possiede (oltre ai punti base mul- 

 tipli già considerati del fascio di superficie) dei nodi suoi propri, purché però 

 in tal caso si escludano dal com,puto dei punti doppi di superficie del fascio 

 quelli precisamente che cadono in quei nodi della linea base. Invero se nel 

 ragionamento fatto (n. 8) si ammette che T e t' possano avere punti doppi, 

 indicando con B' un punto doppio di y', sulla F che lo contiene si avrà 

 una coincidenza di due delle N curve con punto doppio, in quella che è 

 intersezione di F con la F' avente punto doppio in B'. Ne viene poi che 

 nella formola (10) si dovrà aggiungere al 1" membro il numero dei nodi 

 di t': e così nella (11) il numero dei nodi di Y- Quindi passando alla (12) 

 questa rimarrà vera, purché ò e b' si diminuiscano ris]pettivamente dei 

 punti doppi di Y e y'. 



