INTORNO AD UN CARATTERE DELLE SUPERFICIE, ECC. 501 



s{s — 1)"^ — {s — 1), e quello di p di s^s — 1) (*); quindi l'espres- 

 sione (14) ci fa vedere che rabbassamento nel numero 4(« — 1)^ 

 dei punti doppi del fascio sarà di 2(s — 1)^ (2s -|- 1) : risultato 

 pure noto (**). 



11. Si può domandare quale sia per una varietà qualunque 

 Mr il carattere analogo a quelli che abbiamo introdotto per le 

 superficie e per le varietà Mg. Chiameremo TT^ questo carattere: 

 e lo supporremo definito per indici minori di r. Allora si con- 

 sideri sulla Mr un fascio di varietà M^_ j , il cui carattere indi- 

 chiamo con T\r-\ , e sia T\r-z il carattere della Mr_2 base e ò il 

 numero dei punti doppi staccati di varietà del fascio: sarà, 

 indipendentemente dal fascio considerato: 



(15) n, = ò — 2n,_i — n,_2 . 



Conviene porre TTo uguale al numero dei punti a cui esso si ri- 

 ferisce, diminuito di 1 ; poi TTi uguale al doppio del genere della 

 curva (ossia porre ÌT_ , = 0). Dopo ciò risulta dalla (15) TTj 

 uguale al carattere P della superficie aumentato di 1; gT\q uguale 

 al carattere che avevamo chiamato TT della Mg diminuito di 2. 

 La determinazione così scelta è tale che, qualunque sia r, il 

 carattere TT^ s'annulla per la M,. lineare, cioè per uno spazio S,.. — 

 Accenniamo ancora, terminando, che sarebbe utile in questo 

 argomento considerare anche le varietà riducibili. Per quel che 

 riguarda le curve si sa già come la nozione del genere si possa 

 applicare alle curve riducibili: e non vi è difficoltà a determi- 

 nare quali modificazioni occorrano in tutte le cose esposte 

 quando per le curve che abbiamo incontrato si tolga la restri- 

 zione di essere irriducibili. Converrà fare la stessa determina- 

 zione per le superficie, ecc. 



(*) Cremona, Grundzuge einer allgem, Theorie der Oberfldchen, n. 119. 



(**) Pieri, Sopra alcuni problemi riguardanti i fasci di curve e di super- 

 ficie algebriche (Giornale eli matem., t. 24 (1884)). — Cfr. anche, per questo 

 e per un risultato più generale : Guccia, Sur les points doubles d'un faisceau 

 de surfaces algébriques (Comptes rendus, avril 1895). 



