SULLE SINGOLARITÀ DELLA JACOBIANA DI QUATTRO SUPERFICIE 503 



Occorre distinguere poi vari casi: se m^^ > considero le 

 superficie dello stesso ordine ed aventi in la stessa multi- 

 plicità: 



Mj = Fg'^*'"", M2 = Fi*^'"» Fg'^''"", M3 = Fi"^*»"" F4*"»'"" (1); 

 se mi2 = 0, ma W34 > considero invece le superficie 



Ni = Fq'"""^*, N2 = F4'""'"" F2'"'*"'", N3 = F4'""'"" Fi*"'*'"" ; 

 se mi2 = m34 = 0, considero le superfìcie 



Pj = F/' F^P*, P2 = FaP'FgPs P3 = Fc^p^'P^p*; 



infine se le m.^ sono tutte nulle, considero le superficie 

 Si = FiP>, S2 = F,P^, S,:^F/^, S, = F,P^. 



Ciò posto la jacobiana delle superficie Fj F2 F3 r4 avrà in 

 la multiplicità r -j- 1 nei seguenti casi : 



1° Se le multiplicità di per le quattro superficie sono 

 proporzionali ai loro ordini; 



2° Se per passano solo due delle quattro superficie ; 



3° Se mj2 > 0, od ^34 > 0, mi2 = m^^ = 0, ed il jaco- 

 biano dei tre coni tangenti alle superficie Mj M2 Mg, od Nj N2 N3, 

 Pj P2 P3, secondo i casi, è identicamente nullo. 



Il problema è quindi ridotto in questo caso a determinare 

 quando si annulla identicamente il jacobiano di tre coni dello 

 stesso ordine. Ora, valendosi di un noto teorema del prof. Bertini 

 sui sistemi lineari di varietà riduttibili_, si dimostra che, perchè 

 ciò avvenga, è necessario e sufficiente che i tre coni si compon- 

 gano di una parte comune (che può anche mancare) e di coni di 

 un fascio. 



Quindi nel 3° caso la condizione affinchè sia (r -|- 1) — pio 

 per la jacobiana potrà esprimersi piti geometricamente, dicendo 

 che i coni tangenti alle superficie M, od alle superficie N, od 



(1) Indico con F"" la superficie F contata m volte, 



