504 ALBERTO LEVI 



alle P, secondo i casi, devono risultare di una parte comune e 

 di coni di un fascio. Questo avverrà in particolare se i coni 

 tangenti alle superficie Fi Fg Fg ^4 sono composti mediante coni 

 di un fascio, ed infine anche nel caso che questo fascio sia un 

 fascio di piani. Questo, per esempio, è il caso che sia un 

 punto generico di una curva comune alle quattro superficie; 

 poiché allora i coni tangenti a queste si spezzano in piani pas- 

 santi tutti per la tangente in alla curva: sicché la multiplicità 

 di ogni punto di questa curva per la jacobiana, come già aveva 

 trovato il De Paolis, sarà r -\- 1 = ri -\- r2 -{- r^ -\- r^^ — 2. 



Supposta soddisfatta una delle precedenti condizioni, vi sa- 

 rebbe luogo a determinare quando la multiplicità di per la 

 jacobiana sia almeno r -}- 2, 



Ho risolto la questione in due casi: 



a) Quando i coni tangenti alle superfìcie Fj Fg Fg F4 si 

 spezzino in piani di un fascio (caso di una curva comune). In 

 questo caso la multiplicità di per la jacobiana è in generale 

 r-j-1: se mja > sarà r -(- 2 nei seguenti casi. 



l*' I gruppi di piani tangenti alla superficie Mj M2 Mg 

 coincidono, 



2° Questi gruppi di piani fanno parte di un'involuzione 

 semplicemente infinita, e quella superficie della rete Mj M2 Mg, 

 che ha in punto almeno (R-j-l) — pio (R essendo la mul- 

 tiplicità comune in delle Mj M2 Mg) ha in un punto 

 (R -f- 2) — pio, oppure ha in un punto (R -|- 1) — pio, tale 

 che il cono tangente ad essa si spezza esso pure in piani del 

 fascio, a cui appartengono i coni tangenti alle quattro super- 

 ficie date. 



3° I gruppi di piani tangenti alle superficie della rete 

 Mj M2 Mg determinano un' involuzione doppiamente infinita , e 

 l'insieme di tutte le rette passanti per 0, che incontrino in 

 almeno R -4- 2 volte una superficie della rete ed appartengano 

 ad un piano doppio per il gruppo di piani tangente a questa, 

 diventa indeterminato, si riduce a 3R — 1 piani passanti 

 per l'asse del fascio dei piani tangenti. 



Se si avesse W12 = 0, ma ^34 > 0, oppure W12 = m^^ = 0, 

 basterebbe in quanto si è detto sostituire alle superficie Mj Mg Mg 

 le superficie Ni N2 Ng nel primo caso e le superficie Pi P2 Pg nel 

 secondo. 



