SULLE SINGOLARITÀ DELLA JACOBIANA DI QUATTRO SUPERFICIE 505 



Nel caso poi che per passino solo due delle superficie, 

 ad es. Fg ed F4, perchè la multiplicità di per la jacobiana 

 sia r -f- 2 = rg -j- r4 — 1, dovrà essere soddisfatta una di queste 

 due condizioni. 



1" La retta intersezione dei piani polari di rispetto alle 

 superficie Fi ed F2 incontra la retta asse dei gruppi di piani 

 tangenti in alle superficie Fg ed F4. 



2° I gruppi di piani tangenti alle superficie Fa'** ed F^*"* 

 coincidono. 



b) Quando le multiplicità di per le quattro superficie sono 

 proporzionali agli ordini. In questo caso pure (che comprende 

 sotto di se il caso che si tratti del comportarsi della jacobiana 

 di un sistema lineare oo^ di superficie in un punto base), la 

 multiplicità di per la jacobiana è in generale r-|- 1; sarà r -|-2 

 nei seguenti casi. 



1° Quando i coni tangenti alle superficie Sj S2 Sg S4 sono 

 composti di una parte comune e di coni di un fascio (e quindi 

 o appartengono ad un fascio determinano un sistema lineare 

 di coni riduttibili) : questo avviene in particolare se si tratta 

 di una curva comune alle quattro superficie; sicché si ha questo 

 teorema: Una curva base s — pia di un sistema lineare có^ di 

 superficie ha almeno la multiplicità 4s — 1 per la jacobiana. 



2*^ Quando i coni tangenti alle superficie Sj S2 So S4 de- 

 terminano una rete di coni che non si spezzano in parti varia- 

 bili, e quella superfìcie del sistema lineare co^ determinato da 

 Si S.2 Sg S4, che ha in punto piìi che s — pio, ha in un punto 

 almeno s-\-2 — pio. 



In particolare, in un punto base semplice di un sistema 

 lineare 00^ di superficie, in cui i piani tangenti non formano 

 fascio, essi determinano una rete, e quindi il punto sarà triplo 

 per la jacobiana del dato sistema solo quando in questo esiste 

 una superficie che abbia in punto triplo. 



3" Quando i coni tangenti alle superficie Sj 83 Sg S4 de- 

 terminano un sistema co-'' di coni che non si spezzino in parti 

 variabili, ed ogni superficie del sistema, il cui cono tangente 

 in ammette una retta doppia, è incontrata da questa retta 

 almeno s -j- 2 volte. 



Da questi risultati si possono facilmente dedurre tutti i casi 

 in cui la jacobiana di un sistema lineare ha punto doppio 



