GRUPPI FINITI ED INFINITI DI ENTI 507 



Nella presente Nota si darà la definizione del gruppo finito 

 basata sul suo ordinamento, e alcune proprietà fondamentali di 

 esso. 



1, Definizione. — Diremo finito un gruppo che possa rendersi 

 bene ordinato limitato, e catena del suo ente originario (N. C, 



a g\ Jh § 1). 



Un gruppo finito che sia effettivamente bene ordinato li- 

 mitato, e catena del proprio ente originario, si dirà per brevità 

 semplicemente ordinato. 



Corollario l''. — Un gruppo finito semplicemente ordinato 

 soddisfa al principio d'induzione. 



Cor. 2°. — Un gruppo simile ad un gruppo finito è finito 

 esso pure. 



2. Def. — In un gruppo finito semplicemente ordinato 

 chiameremo parte Z (1) un gruppo composto di un ente del 

 gruppo e dei precedenti di quell'ente, il quale si dirà finale della 

 Z : indicheremo con Zo la Z che ha per finale a. 



Cor. 1°. — Se in una Ti comparisce un ente, vi comparisce 

 anche il suo immediatamente seguente {suo ente o), tranne per il finale. 



Cor. 2°. — Se h è un ente non finale di Z», la Zj è parte 

 propria di Za. 



Cor. 3". — Di due distinte Ti di un medesimo gruppo, l'una 

 è parte propria dell'altra. 



Cor. 4:°. — Ogni Z è catena del proprio ente originario nella 

 corrispondenza che fa corrispondere ad ogni ente il proprio <5 

 (N. C, § 1). 



Cor. 5°. — Ogni Z è un gruppo finito. 



3. — Il gruppo di tutte le Z di un gruppo finito sempli- 

 cemente ordinato è simile al gruppo stesso, e ne è immagine 

 facendo corrispondere, p. es., ad ogni Z il proprio ente finale. 



Def. — Diremo gruppo ordinato delle Z il gruppo di esse, 



(1) La notazione è presa dal Dedekind, che l'usa per i numeri (V. Was 

 sind und toas sollen die Zahlen, N. 98). 



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