508 KODOLFO BETTAZZI 



quando di due Z qualunque si dice seguente quella il cui ente 

 finale è seguente dell'ente finale dell'altra. 



Cor. — Il gruppo ordinato delle Z di un gruppo finito è un 

 gruppo finito semplicemente ordinato. 



4. Teorema. — In un gruppo finito nessuna parte propria 

 può essere simile all'intero gruppo (1). 



Sia G un gruppo finito, e si consideri il gruppo ordinato 

 delle Z, prese in G quando esso è semplicemente ordinato. Il teo- 

 rema è vero per l'ente originario di un tale gruppo, il quale è 

 una Z che consta di un ente solo. — Se è vero per una Z, lo è 

 per la immediatamente seguente; giacche se fosse possibile che in 

 una Z una parte fosse simile all'intero gruppo, potremmo, sop- 

 primendo un ente in Z e nella sua parte, avere un'analoga 

 corrispondenza per la Z immediatamente precedente, per la quale 

 invece è supposto ciò impossibile. Dunque, per il principio di 

 induzione, il teorema è vero anche per la Z finale, che è il gruppo 

 stesso G. 



Cor. 1°. — TJn gruppo sviluppabile (N. C, e)) non è finito. 



Cor. 2". — Nessuna parte di un gruppo finito può essere svi- 

 luppabile (Cor. 1'^). 



Cor. S"'. — Non può un gruppo finito essere in una corrispon- 

 denza l'immagine di un gruppo, ed in un'altra l'immagine o di una 

 parte propria dello stesso, o di un gruppo di cui questo è parte 

 propria. 



Cor. 4°. — Per giudicare la relazione di potenza che lega un 

 gruppo finito ad un altro grilppo qualunque, basta esaminare che 

 cosa accada in una sola corrispondenza stabilita fra i due gruppi 

 (Cor. 3°). 



Cor. 5**. — Le parti proprie di un gruppo fitiito sono di po- 

 tenza minore a quella del gruppo (Cor, 4°). 



Cor. 6**. — Bi due distinte Z di un medesimo gruppo finito 

 semplicemente ordinato, una è di potenza minore dell'altra (§ 2, 

 Cor. 3° e Cor. 5« — § 4, Cor. 5«). 



(1) Cfr. Cantob, l. cit., pag. 61. — Veronese, l. e. Introd., N. 48, f). 



