GRUPPI FINITI ED INFINITI DI ENTI 509 



5. Teoeema. — Un gruppo finito è necessariamente di po- 

 tenza maggiore, o uguale, o minore a quella di un dato gruppo 

 qualunque. 



Infatti noi possiamo associare all'ente originario di un 

 gruppo G finito e semplicemente ordinato uno arbitrario del 

 gruppo dato K, all'ente a dell'originario di Gr uno qualunque 

 di quelli restanti in K, e, in generale, se ad un ente è di Gr 

 si è associato un ente di K, si può associare all'ente cr3 di Gr 

 un ente qualunque del gruppo K', che si ottiene da K soppri- 

 mendovi gli enti di esso già associati ai precedenti di ò ed a b, 

 se un tal gruppo K' esiste. Questa associazione, per il principio 

 d'induzione valido in G, è una corrispondenza fra G e K, nella 

 quale o G ha per immagine una parte propria di K, o K stesso, 

 oppure una parte propria di G ha per immagine K. Lo stesso 

 accadrà quindi in qualunque altra corrispondenza possibile fra 

 G e K (§ 4, Cor. 3°) e sarà perciò G necessariamente di po- 

 tenza maggiore, o uguale, o minore a quella di K. 



Cor. — Di due gruppi finiti qualunque che non abbiano po- 

 tenza uguale, uno ha necessariamente potenza maggiore dell'altro (1). 



Osservazione. — Dalla dimostrazione del Teorema precedente 

 si deduce che ogni gruppo di potenza minore di quella di un 

 gruppo finito è di potenza uguale a quella di una sua conve- 

 niente parte Z. 



6. Teorema. — Le 'parti proprie di un gruppo finito sono 

 finite (2). 



Infatti essendo esse (§ 4, Cor. 5°) di potenza minore a quella 

 del gruppo, e quindi (§ 5, Osservazione) simili ad una parte Z 

 del gruppo, la quale (§ 2, Cor. h") è finita, sono finite esse pure 

 (§ 1, Cor. 2»). 



(1) Di qui discendono pei gruppi finiti le seguenti proprietà che il 

 Cantor nella sua Nota 1*: Beitrcige zur Begrundimg der transfiniten Menge 

 (Math. Ann., Bd. 46) enuncia pei gruppi qualunque, sebbene ne egli ivi le 

 dimostri, né appariscano evidenti: 



— Se dei gruppi M ed N il gruppo N non è equivalente ne ad M, ne ad 

 una sua parte propria, dovrà una parte propria di N essere equivalente ad M. 



— Se M ed N non sono equivalenti, ed una parte propria di N è equi- 

 valente ad M, nessuna parte propria di M sarà equivalente ad N. 



(2) Cfr. Veronese, l. e, Introd., N. 39, e). 



