510 RODOLFO BETTAZZI 



7. Teorema. — Ogni gruppo che non sia di potenza maggiore 

 a tutte quelle di qualunque gruppo finito, è finito esso pure. 



Ed infatti (§ 5) se il gruppo K non è di potenza maggiore 

 a quella di un conveniente gruppo finito Gr, dovrà essere o di 

 potenza uguale ad esso, o di potenza minore di esso e quindi di 

 potenza uguale ad una sua parte propria, e perciò in ogni caso 

 simile ad un gruppo finito (§ 6) e finito esso pure. 



Cor. l**. — Un gruppo o è finito, o è di potetiza maggiore a 

 quelle di tutti i gruppi finiti. 



Cor. 2°. — Ogni gruppo finito è di potenza minore a quella 

 di un gruppo sviluppabile qualunque (§ 4, Cor. 1° — § 7, Cor. l"*). 



8. Teorema 1". — Li qualunque modo si renda bene ordinato 

 un gruppo finito, esso dovrà sempre essere semplicemente ordi- 

 nato (§ 1). 



Ed infatti, se fosse illimitato, la catena di un suo ente qua- 

 lunque sarebbe aperta e illimitata, e quindi costituirebbe un 

 gruppo sviluppabile (N. C, § 3, Cor.), ed il gruppo di cui essa 

 è parte non sarebbe finito. Se poi il gruppo non coincidesse 

 colla catena del proprio ente originario, tale catena sarebbe 

 anche allora illimitata, e il gruppo dato sarebbe ancora svilup- 

 pabile. 



Teorema 2*'. — Un gruppo finito, se è ordinato, è sempre bene 

 Oì' dinato. 



Sia infatti il gruppo finito G, e si renda bene ordinato, il 

 che è sempre possibile, per lo meno in quel modo per il quale 

 si definisce finito (§ 1). Si consideri il gruppo ordinato delle 

 sue Z: esso (§ 3, Cor,, e § 1, Cor. 1*>) soddisfa al principio d'in- 

 duzione, e di esso fa parte G- come ente finale. 



Il teorema che ci si propone di dimostrare^ è vero per l'ente 

 Z originario di tale gruppo, che consta di un ente solo. Se si 

 suppone vero per una delle Z, è vero^ come facilmente si vede, 

 anche per la Z immediatamente seguente. Dunque, per il prin- 

 cipio d'induzione, è vero per tutti gli enti Z, e perciò anche per 

 il finale, che è G. 



Cor. 1°. — Un gruppo finito, comunque sia ordinato, è sempre 

 semplicemente ordinato. 



Cor. 2°. — Un gruppo finito semplicemente ordinato resta tale 



