GRUPPI FINITI ED INFINITI DI ENTI 511 



anche scambiando in esso le parole precedente e seguente, e quelle 

 finale ed originario; o, brevemente, rovesciando il gruppo (1). 



CoE. 3", — Un gruppo ordinato, nel quale qualche ente non 

 abbia V immediatamente seguente (fatta eccezione per il finale), non 

 è finito. 



9. Teorema. — La condiziotie necessaria e sufficiente, affinchè 

 un gruppo non sviluppabile sia finito, è che possa stabilirsi una 

 corrispondenza priva di cicli parziali (N. C, d)), nella quale il 

 gruppo sia immagine di sé stesso. 



Se in una corrispondenza priva di cicli parziali il gruppo G 

 è immagine di se stesso, si può rendere G bene ordinato (N. C, 

 § 9, Lemma 2°) dando origine ad un gruppo limitato. Se G non 

 è sviluppabile, dev'essere esso la catena del suo ente originario, 

 altrimenti tale catena sarebbe illimitata e perciò sviluppabile, 

 e tale quindi sarebbe G. 



Reciprocamente se un gruppo è finito e si rende sempli- 

 cemente ordinato, prendendo per immagine di ogni ente non 

 finale il suo ente 6 e del finale l'originario, si ottiene una cor- 

 rispondenza nella quale il gruppo è immagine di se stesso, 

 che è priva di cicli (Cfr. N. C, § 5, Teor.). 



10. Bef. — Diremo infinito ogni gruppo che non sia finito (2). 

 Cor. 1°. — Sono infiniti tutti e soli (§ 7, Teor.) i gruppi di 



potenza maggiore a quella di qicalunque gruppo finito. 



Cor. 2°. — Ogni gruppo sviluppabile è infinito (§ 7, Cor. 2°). 



(1) Cfr. Veronese, l. e, Introd., N. 39, e). 



(2) II Dedekind che si occupa (l. e, N. 64) dei gruppi infiniti, dà questo 

 nome ai gruppi che noi (N. C, e)) abbiamo detto sviluppabili. Tali gruppi 

 sono infiniti anche nel nostro attuale concetto; ma (v. Osserv. al Cor. 2"^ 

 di questo paragrafo) la reciproca non essendo stata provata, si è creduto 

 bene di distinguere le due qualità dei gruppi con diverso nome. E si è 

 cambiato quello già usato dal Dedekind, parendoci che il nome di infinito 

 meglio si adattasse ai gruppi più generali (o almeno non certamente più 

 speciali) da noi detti così, anche secondo il concetto grossolano che ci si 

 fa, nell'uso volgare, del gruppo infinito. Il Cantor, sebbene non lo defi- 

 nisca esplicitamente, tuttavia ci pare che nel suo citato opuscolo {Zar 

 Lehre, ecc.) mostri accostarsi al concetto di infinito qui da noi dato. 



