558 VITO VOLTERRA 



La determinazione di cp(a?) per a, > a;> a rientra nella 

 classe di problemi che ho precedentemente risoluti. La difficoltà 

 incomincia dal determinare cp {x) per valori a partire dalla 

 prima radice a^. Possiamo quindi procedere ad esaminare la 

 questione seguente : 



Invertire l'integrale 



f (^^ ^ jo^ ^^^ H (;r, t/) c^a; a > ij >0 



in cui h{y) = IL (y, y) si annulla per «/ = e non per altri 

 valori di y compresi fra ed a. Noi tratteremo qui il caso 

 semplice in cui H {x, y) possa svilupparsi secondo la formula 

 del Taylor abbreviata, in modo che possa scriversi 



'R{x,y) = o.x -\-hj -\-^ (a^^H„ [x,y) -f 2xy 'R^^{x,y) ^ y'^B.^.^{x,y)) 



in cui le H,5 sono funzioni finite e continue per x, y compresi 

 fra e a, e a e p non sono ambedue nulli. In tale ipotesi f (y) 

 dovrà essere infinitesima del 2" ordine per ?/ = 0. 



3. I resultati che in questo caso si hanno possono riassu- 

 mersi nel seguente teorema: 



Abbiasi la equazione funzionale 

 (A) f{y)= Jo^C^) H(a;,«/) dx, a > y >Q 



in cui f (y) = y2fi(y); e 



H {x,y) = aa? + Py 4- 2 {x^ìiu {^,y) + '^V^^iìi^^v) + «/^Haa («;,«/)) = 

 = 0.X -\- ^y -\r Ll'{x,y). 



^^ fi(y)> Hjs e le loro derivate rapporto ad y sono finite e 

 continue per x, y comprese fra ed Sl, mentre h (y) = H (y, y) 

 si annulla solo per y = 0, esisterà una ed una sola funzione finita 

 e continua qp che soddisfa l'equazione funzionale (A) quando 



