SULLE EQUAZIONI A DERIVATE PARZIALI DEL 2° ORDINE 5(Ì9 



B C. Intanto è chiaro che B si annullerà solamente quando a 

 sia soluzione comune all'equazione (1) ed all'altra: 



ÒZ c + l/c'— g& òZ 



da" a ày ^ 



prendendo il radicale col segno superiore oppure coll'inferiore. 

 In modo analogo, sarà nullo C quando 3 soddisfi nel medesimo 

 tempo la (1) e la precedente. 



Occupiamoci quindi di vedere in quali casi le due equazioni: 



dx^ ^^ Ò!/* "^ òxdtj 



w ; , 



ammettono una soluzione comune. 



Ricavando dalla seconda di esse i valori di -^-^ , ^^ — ^— , .-„ , 

 e sostituendoli nella prima, otterremo: 



\ ' X / àxòy òr ^ \ òx X òv òy I àtj 



Semplificando, col tener presente il valore di \ e quello 

 di . V tratto dalla seconda delle (4), rimarrà: 



^ ^ b_ d)^\ àZ _ ^ 



àx X dy / Ò!/ 



Segue facilmente che affinchè le (4) abbiano una soluzione 

 comune (diversa da una costante) dovranno i coefficienti a, h, e 

 soddisfare alla condizione: 



(■5) J^ f c±'^c^—ab \ __ c=FVc^- ab _ò_ f c±^c^—ab \ 



òx \ a j a dy \ a ) 



dove il radicale deve esser preso coi segni superiori o cogli 

 inferiori, secondo che in X esso è preceduto dal -|- oppure dal — . 

 Reciprocamente, se questa condizione è verificata, ogni so- 

 luzione della seconda delle (4) soddisfarà pure la prima. 



