SULLE EQUAZIONI A DERIVATE PARZIALI DEL 2° ORDINE 571 



Tali condizioni equivalgono alle altre: 



L (JL] — ^ Jl (^\ _ Vg' - ab Ò ( Ìc^-ab \ 

 dx \ a j a di/ \ a ì a òt/\ a j 



ò ( Ìc'—ab \ _ e ±^ Hc^—ab \ _ Ve' — ab J_ I _c_ ^ 

 òx \ a / a dv \ a j a dy \ « ' 



La prima di queste ci dà subito: 



ò i e \ ò / b 



òx ^ a I dy \ a 



mentre la seconda può scriversi: 



ò J c^ b _c_ ±_\l c^ &_ _ 1 / c^ b~ _d 



òx f a^ a a òy f a^ a r «* a òy \ a j ^ 



e sviluppando le derivate, essa viene ridotta all'altra: 



_c Ò^ I — ì — ^ 



a dx : a I a ày \ a I _ 



dx\ a I a dy \ a j ' 



Tenendo conto della prima uguaglianza, concludiamo che 

 dovrà risultare contemporaneamente: 



/ _d_ i 2c_\ _ _d_ / b_\ 

 \ òx \ al òy [ a I 



(6) 



/ Ì_ f JLÌ — _Ì_ /lf_l 

 l dx [ b I ~~ dy \ b I 



Reciprocamente, se queste due condizioni sono soddisfatte, 

 la (5) sussisterà prendendo i segni superiori del radicale, ed 

 anche gli inferiori. 



Dunque, la condizione necessaria e sufficiente affinchè la (1 ) 

 ammetta l'integrale generale: 



Z = F(a) + 0(3) 



è che siano verificate le (6) ; cioè che — risulti un fattore in- 



' a 



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