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tegrante dell'espressione differenziale: hdx -\- 2cdy, e — lo 

 sia dell'altra: 2cdx -\- ady. 



Un'equazione molto notevole della forma (1) si ha nel caso 

 in cui a, h, e sono le derivate parziali del 2" ordine di una 

 stessa funzione ^ = (a?, y), e precisamente quando sia : 



ò*z ih ^^•^ ^'^ 



e si sa che ogni soluzione di questa equazione è la coordinata Z 

 (cioè la distanza dal piano xy) espressa in funzione di ic e ^, 

 dei punti (X, Y, Z) di una superficie che corrisponde alla data 

 z = Q{x, y) con ortogonalità degli elementi lineari. Le altre 

 coordinate X, Y dei punti corrispondenti si deducono poi dal 

 valore di Z con sole quadrature (*). 



Ora è evidente che nel caso dell'equazione (7) le nuove 

 variabili a e p non sono altro che i parametri delle linee assin- 

 totiche della superficie z = Q{x,y); e poiché le proiezioni di 

 queste sopra un piano qualunque è noto che debbono formare 

 un sistema coniugato ad invarianti uguali (**), si deduce che le 

 coordinate x, y dei punti di qualsivoglia superficie, quando siano 

 espresse in funzione dei parametri delle assintotiche, dovranno 

 soddisfare ad un'equazione di Laplace cogli invarianti uguali. 

 Ma la (1) ammette evidentemente x, y come soluzioni partico- 



(*) Darboux, Legons sur la Théorie generale des Surfaces, parte IV, p. 10. 



(**) KoENiGS, Sur Ics réseaux plans à invariants égaux et les lignes asym- 

 ptotiques, " Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences ,,, 

 t. CXIV, p. 55, 1892. 



