SULLE EQUAZIONI A DERIVATE PARZIALI DEL 2° ORDINE 573 



lari, e perciò la (3) ammetterà come integrali le espressioni di 

 tali coordinate in funzione di a e p. Allora è facile dedurre 

 che nel caso dell'equazione (7), la (3), in cui essa viene a tras- 

 formarsi, è necessariamente ad invarianti uguali; cioè risulta: 



da i A ' dM A 



Ne segue che, in questo caso, se la (3) si riduce alla 

 forma : 



A /L 4- C 4f = od all'altra: A ^ _|- B 4^ = 0, 



R 



sarà -T- funzione della sola a e ^ della sola P ; e perciò l'in- 

 tegrale generale della (7) risulterà della forma: 



(8) Z = M[F(a) + ct)(P)] 



[ 



^dfi 



essendo }à ^ e oppure }x = e ^ 



Applicando i resultati ottenuti nel § 1, possiamo concludere 

 che l'integrale generale della (7) avrà quest'ultima forma sol- 

 tanto quando la funzione z = Q{x,y) soddisfi alla equazione: 



m) d I s + is^ — rt] _ s-iJ^^t ò (s + Ì?^^t 



òx \ t j t Òt/ 



oppure all'altra: 



(10) "^ ( s-]/s^-rt\ _ s-\-]/s^-rt ò [s-'^T'^^t 



di» \ t / t òij \ t 



È molto facile interpretare geometricamente questa condi- 

 zione. Infatti la (9) p. e. ci dice che dovrà risultare: 



f = M^(p), 



essendo p = cost. l'integrale generale dell'equazione: 



