SULLE EQUAZIONI A DERIVATE PARZIALI DEL 2" ORDINE 575 



<11) z = f{ax + hy) + [c^x -\- c^y) (p{ax + hy), 



essendo a, b, ci , Cg delle costanti arbitrarie , ma tali che non 

 risulti acz = bci, altrimenti queste superficie sarebbero delle 

 sviluppabili; cioè si avrebbe s^ — rt = 0, perchè: 



Vs* — r^ = {bci — aCi)(p'{ax -|- btj). 



Ora posto: ax -\- by ^= t, CiX -\- c^y = u, l'equazione com- 

 plessiva delle assintotiche si riduce, nel caso attuale, all'altra: 



[f'{t)dt -^ u(p"{t)dt + 2q>'it)du']dt = 0, 

 la quale si spezza in due; 



^ = cost. fdt-{-2Ì'^'d{uyl^) = (ì, 

 e quest'ultima ha per integrale generale: 



Dunque i parametri delle assintotiche sono attualmente: 



.1 Vqa (a) 

 Inoltre per le superficie (11) risulta: 



TI — -^ — JLi^. 

 ^ ~ "' A "" 2(p'(a) ' 



e quindi l'integrale generale della (7) sarà in questo caso: 



Z = ^[F(a) + ct>(P)]. 

 V^P (a) 



2wI/(d' -\- l-UL c?^ = cost. 



Passiamo ora a vedere per quali forme della funzione 

 z = ^{x, y) l'integrale generale della (7) è : 



(12) Z = F(a)-f 0(P). 



