576 MINEO CHINI 



Affinchè questo accada sarà necessario e sufficiente che 

 risultino verificate contemporaneamente le equazioni (9) e (10); 

 o ciò che è lo stesso, che si abbia: 



\ òx \ r j 



Dalla prima di queste condizioni si deduce che dovrà essere: 

 s^ — rt = X, con X funzione della sola x', e dalla seconda: 

 / — rt = Y, con Y funzione della sola t/. Quindi bisognerà che 

 risulti : / — rt = cost. 



Reciprocamente , se z = B{x^ y) soddisfa a quest' ultima 

 equazione, risulteranno verificate le due condizioni precedenti; 

 e perciò possiamo concludere che l' integrale generale della (7) 

 sarà della forma (12) soltanto quando la funzione z soddisfa 

 all'equazione: 



(13) s^—rt = h 



con h costante arbitraria diversa da zero. E per le superficie 

 che risultano integrali di questa equazione i parametri delle 

 assintotiche sono: 



« = 1^ + ^*, P = -|-^V^. 



Appartengono evidentemente alla suddetta classe le rigate a 

 piano direttore: 



z = iax -{-by + c){ciX -f c^y) + /(aa? + by), 



giacche per tali superficie si ha: \s^ — rt = bci — ac^. Fra 

 queste vi è anche il paraboloide iperbolico. 



Le superficie integrali della (13) sono caratterizzate dalla 

 proprietà che lungo ciascuna assintotica, dell'uno o dell'altro 

 sistema, le tangenti a tutte quelle del sistema rimanente risul- 

 tano parallele ad uno stesso piano, che passa costantemente 



