SULLE EQUAZIONI A DERIVATE PARZIALI DEL 2° ORDINE 577 



per una retta fissa. Ora il Darboux ha determinato le espres- 

 sioni delle coordinate x, y, z dei punti di una classe completa 

 di superficie (che può dimostrarsi essere la più generale possi- 

 bile) le cui assintotiche a = cost., p = cost. godono della pro- 

 prietà che lungo ogni a = cost. le tangenti a tutte le p = cost. 

 risultano parallele ad uno stesso piano, la cui normale ha i 

 coseni di direzione proporzionali alle derivate /"'(a), (p'(a), i|;'(a) 

 di tre funzioni qualunque di a; e che inoltre, lungo ogni P= cost. 

 le tangenti a tutte le a = cost. sono parallele al piano la cui 

 normale ha i coseni di direzione proporzionali alle derivate 

 f\{^)i 9'i(P)) M^'ilP) di tre funzioni arbitrarie di p. Tali espres- 

 sioni sono: 



ikx = (cpipi — ipqpi) + |((Pi^vpi — vjiiC^cpi) — j(q)(^Mi — ijic^q)) 



4.ky = {xvn - Z'U'i) + {(vPi^A - /"i^Mii) - liHKif - fdx^) 



ékz = (/"(Pi - qpA) + \{fid<Pi - <Pidf,) - \{fd<p - (pdf) 



essendo k una costante qualunque (*). 



Quindi se vogliamo che quei piani, nelle loro varie po- 

 sizioni, passino costantemente per la medesima retta fissa, che 

 sceglieremo come asse delle z, dovremo prendere qi (a) := m, 

 ijij (p) = n, essendo m, n costanti arbitrarie. Dunque le equazioni : 



/ x = cyi(a)H-ei(p) 

 (14) y = (T,(a) + e,(p) 



U« = ((yg0x — 01 62) — j(e2£^ei — 61(^62) -}-j((TjC? (Ti — Oic^aj) 



con 01, 02, 61, 62 funzioni arbitrarie, ci danno le coordinate dei 

 punti di tutte le superficie che sono integrali della (13). 



Se le funzioni (0i, 02), (6i, 0g) in luogo d'essere indipendenti, 

 sono legate dalle relazioni: 



0Ua) + 0l(a) = A' - A" 



eKP)-he«(p) =/.'-r' 



(*) Dabbodx, Ojo. cit., parte 3», pag. 368. 



