694 VITO VOLTERRA 



I teoremi 2° e 3° danno la effettiva risoluzione del pro- 

 blema dell'inversione allorché è soddisfatta la condizione di cui 

 ora si è parlato. Essi stabiliscono che l'equazione funzionale 

 primitiva è equivalente ad un'altra avente la stessa forma, 

 ma tale che la corrispondente funzione H(^,^) non si annulla 

 più nell'intervallo d'integrazione, e che perciò è suscettibile di 

 risolversi col metodo che ho dato fino dal principio delle at- 

 tuali ricerche. 



Finalmente i teoremi 4° e 5^* provano che la questione 

 funzionale non è determinata se le radici della equazione alge- 

 brica a cui si riferisce la detta condizione, anziché avere le 

 parti reali positive, sono tali che una o più di esse hanno le 

 parti reali negative, giacché allora se esiste una soluzione ve 

 ne sono infinite. 



2. Teorema I. — Abbiasi la equazione funzionale 



(A) fiy) = f^ix) H(a;,«/) dx, a > y > 



in cui 



fiy) = f-'My) 



n 

 



B'{x,y) = %éy^^'-'U{x,y) 



essendo le ai quantità costanti. 



Se fi (y) e Li (x, y) e le loro derivate rapporto ad y sono finite 

 e continue per y compreso fra ed a, mentre in questo intervallo 



h{y) = B.{y,y) 



non si annulla che per J = 0, esisterà una ed una sola funzione 

 finita e continua cp che soddisfa la (A) quando tutte le radici del- 

 l'equazione algebrica di grado n 



(B) j^ + T^ + + T=V3r = 



essendo finite e differenti fra loro, avranno le parti reali positive. 

 Divideremo la dimostrazione di questo teorema in due parti. 



