SULLA INVERSIONE DEGLI INTEGRALI DEFINITI 699 



Abbiamo ora 



1° \\>{z) è una funzione finita e continua in tutto l'inter- 

 vallo (0 a), e per 2; = si annulla. 



\v' (z) è una funzione finita e continua nello stesso inter- 

 vallo, e 



„ T7- n(;tH-l)Iia, 



lim vp'(^) = (n + l)A(0)5 ^ = -„ ~^A(0). 



2"' G{t/,z) e Gi{i/,z) = — y^' sono funzioni continue 



ed i limiti superiori dei loro valori assoluti sono finiti per tutti 

 i valori di x,ìj che verificano le condizioni 



a > z > y > 0. 

 3° La funzione 



G{z,z) = i a. + ^ 



è finita continua e diversa da zero per tutti i valori di z com- 

 presi fra ed rt. 



La questione funzionale (C) rientra dunque in quella classe, 

 che ho esaminata in Note precedenti, la quale non ammette 

 che una sola soluzione (p{x). 



Dunque non può esservi più di una funzione che soddisfi 

 la (A). 



4. Mostriamo ora che ogni funzione finita e continua q)(«/) che 

 verifica la (C) deve soddisfare la (A') e per conseguenza la (A). 



Supponiamo infatti che q>{i/) soddisfi la (C); in tal caso, 

 posto 



^{y)=fiy) — ^{i/ÌHì/) — j\{x)B.t{x,y)dx, 



questa funzione resulterà finita e continua per « > y > e di- 

 verrà infinitesima d'ordine n per y = 0. 



