SULLA INVERSIONE DEGLI INTEGKALI DEFINITI 703 



Tenendo conto che , 



ÌK.,X,(\, - 1) ... (X, - m + 1), IK',\,(X,- 1)...(X. - m 4- 1) 

 i 1 



sono funzioni razionali simmetriche delle radici della (B), esse 

 potranno esprimersi razionalmente mediante a^, a, ... am, e quindi 



I,K,?<^* = I^ j— A„ («n, «!...«„) = Y(«o, «i - «» I u) 



" '" (u 1 ) "' 



I,K',W'»= I^ ' r^ A'„(«o, «1 ... «n) = M^' («0, «1 ... «n I U) 



1 '" • 



in cui A„ e A.'„, denotano funzioni razionali di Uq, «i ... «„. 



Mediante queste formule la (Ci) si trasformerà in modo che 

 le X, resulteranno eliminate, ed avremo: 



Teorema 3°. — Quando sono soddisfatte le condizioni poste 

 nel teorema P la equazione funzionale 



(A) f(i/) = £q>{x)Rix,y)dx {a > y > 0) 



è equivalente all'altra 



(C,) J/' {!/) ~:r H^ («0, «I, ... a„ \i)dy = 





7. Esaminiamo ora il caso in cui alcune radici dell'equa- 

 zione (B) abbiano la parte reale negativa. Sia X quella o una 

 di quelle per cui la detta parte reale è minima, e poniamo 

 X = — |i ; quindi si consideri l'equazione funzionale 



(D) l='f-Hy)+jyx)^{j)"dx {a>y>0) 



in cui Gf{x,i/) è data dalla espressione (8). 



