SULLE CONGRUENZE DI RETTE DEL TERZO ORDINE ECC. 709 



di una superficie di ordine 3 -f" 7 = 10 dello spazio S5, conte- 

 nuta sempre in una M4 non degenere, e soddisfacente alle par- 

 ticolari condizioni in cui si traducono le proprietà di quella 

 certa congruenza (3, 7), supposta esistente , che già si trovano 

 enunciate nella mia Nota citata. I nuovi risultati acquisiti in 

 questi due anni alla teoria delle superficie algebriche, per opera 

 specialmente dei signori Castelnuovo e Enriques ('), mi per- 

 mettono di rispondere ora completamente a quella questione, e 

 precisamente di mostrare che non esistono congruenze di rette 

 (3, 7) di genere 6 C). 



2. Ricordiamo anzitutto che la congruenza (3, 7) di genere 6, 

 supposta esistente, non deve contenere raggi multipli, ne fasci 

 di rette (1. e, n° 7, p. 15); ma deve invece contenere venti coni 

 cubici di genere uno, i cui vertici sono punti singolari di essa, 

 e tali ancora che ogni raggio di essa uscente da uno di questi 

 punti appartiene sempre al cono corrispondente. La congruenza 

 non ammette altri punti singolari, ed è affatto priva di piani sin- 

 golari. Le terne di generatrici secondo cui quei vari coni cubici 

 sono segati dai piani passanti pei rispettivi vertici sono le sole 

 terne di rette della congruenza che appartengono ad un mede- 

 simo fascio (n° 4, p. 8, 9). 



(') Castelnuovo, Alcuni risultati sui sistemi lineari di curve appartenenti 

 a una superficie algebrica; Sulle superficie di genere zero; Enriques, Intro- 

 duzione alla geometria sopra le superficie algebriche ; " Mem. della Soc. Ital. 

 delle Scienze (detta dei XL) ,, ser. Ili, t. X, 1896. In questa Nota dovrò 

 valermi soprattutto dei risultati ottenuti dal sig. Castelnuovo nella seconda 

 delle sue Mem. cit. 



(*) Più particolarmente, faremo vedere che da alcune proprietà della 

 superficie immagine F*" di S-;, supposta esistente, segue che questa non po- 

 trebbe essere razionale, e che, dal non esser questa razionale, segue poi 

 l'esistenza su di essa di alcune rette che invece non vi sono contenute ; 

 da ciò l'assurdo, e quindi l'impossibilità dell'esistenza effettiva di quella 

 superficie, nonché della congruenza (3, 7) di cui essa sarebbe immagine. 

 Questa via è alquanto indiretta, e non è certo escludibile che allo stesso 

 risultato si possa anche giungere in modo più semplice; ma, poiché alcuni 

 caratteri della superficie F*°, che qui si ammettono per ipotesi, sono stati 

 dedotti soltanto da equazioni indeterminate, di cui si sono trovate, e resta- 

 vano in parte a discutersi, le soluzioni intere e positive, potrebbe anche darsi 

 «he vi sia effettivamente implicita una contraddizione, ma soltanto remota. 



