710 GINO FANO 



Questa congruenza (3, 7) si potrà rappresentare con una 

 superficie F^° dello spazio S5, contenuta in una (sola) quadrica (M4) 

 non degenere, che indicheremo con Q; le sezioni (iper)piane di 

 questa superfìcie saranno curve non speciali (cfr. la nota ultima 

 al n" 4, p. 9, del mio lav. cit.) di genere 6, appartenenti a spazi 

 S4, e quindi normali; sicché sarà normale anche la superfìcie F'*^. 

 Essa sarà priva di punti multipli; non conterrà rette, ma, cor- 

 rispondentemente ai venti coni cubici della congruenza, conterrà 

 un egual numero di curve piane di 3'^ ordine, poste in piani a 

 due a due incidenti (perchè tutti appartenenti alla quadrica Q, e 

 precisamente allo stesso sistema di piani sopra questa), benché 

 le curve stesse possano a due a due non incontrarsi (*). Saranno 

 questi i soli piani della quadrica Q che contengono infìniti punti 

 (ossia tutta una curva) della superfìcie F^^. L'intersezione ulte- 

 riore di questa superfìcie con un S4 generico passante per uno 

 di quei 20 piani sarà una curva normale di 7° ordine e genere 3, 

 che avrà comuni tre punti con questo piano (ossia colla rela- 

 tiva cubica). 



3. Proiettiamo la superficie F^° su di uno spazio S3 (da una 

 sua trisecante, e quindi) da una retta generica r del piano a di 

 una sua cubica t^- (Si può dunque supporre in particolare che 

 r non incontri i piani delle rimanenti cubiche). Avremo una 

 superficie F' di Sg, con un punto triplo A immagine della cu- 

 bica T^; e con una curva doppia di 9*^ ordine, perchè le sezioni 

 piane della stessa F' devono essere curve di genere 6. Questa 

 curva doppia non passerà tuttavia per A, perchè le sezioni piane 

 per questo punto devono essere di genere 3, e quindi appunto di 

 genere inferiore di tre unità a quello della sezione generica. — 

 Per la retta r passerà anche un secondo piano P della quadrica Q, 

 che incontrerà la superfìcie F^° in sette punti ; di questi , tre 

 stanno già sulla curva t^ (ossia sopra r); gli altri quattro da- 

 ranno in proiezione un unico punto B, quadruplo per la super- 

 ficie F' (col cono tangente spezzato in quattro piani) e sestuplo 



(*) Si può dimostrare che ciascuna di queste cubiche dovrebbe incon- 

 trare tutte le altre, meno una (cfr. la nota (*) a p. 711, n" 3); ma ciò non 

 ha per noi alcuna importanza. 



