SULLE CONGRUENZE DI RETTE DEL TERZO ORDINE ECC. 711 



per la curva doppia C^ (le sei tangenti a questa essendo date 

 dalle intersezioni di quei quattro piani a due a due). La retta 

 AB non appartiene però alla superficie F'' (e non l'incontra 

 quindi che nei due punti A e B, triplo il primo e quadruplo il 

 secondo), perchè lo spazio Sg che la proietta da r ha la sua 

 intersezione con F^° completamente ripartita fra i due piani a 

 e P, dei quali A e B sono appunto le traccio sopra F''. Simil- 

 mente si vede che quest'ultima superfìcie non contiene nemmeno 

 altre rette uscenti da uno qualunque dei punti A e B. Infatti 

 una tal retta, ove esistesse, dovrebbe esser proiettata da r se- 

 condo un Sg contenente uno dei due piani a e P, e incontrante 

 perciò ancora Q in un secondo piano, che avrebbe certo un 

 punto a comune con r ; sicché quella stessa retta non potrebbe 

 esser proiezione che di una curva di F^o contenuta in quest'ul- 

 timo piano, che (come si è detto) si appoggia ad r. E noi abbiamo 

 già visto che le sole curve della superfìcie F^° che sono conte- 

 nute in piani della quadrica Q sono le 20 cubiche, i cui piani 

 (a escluso) si sono invece già supposti non incidenti alla retta r. 

 La curva doppia (C^) della superfìcie F', avendo in B un 

 punto sestuplo, ne è proiettata secondo un cono cubico. Questo 

 cono sarà privo di generatrici doppie, perchè da un lato la curva C^ 

 non può avere punti doppi apparenti (se no si avrebbero 

 raggi proiettanti uscenti da B e incontranti la superficie F^ in 

 otto punti, dunque contenuti in questa), e dall'altro ogni punto 

 multiplo effettivo della stessa curva C^ non potrebbe che esser 

 proiezione di tre o più punti distinti di F'"; sicché questi ultimi 

 punti dovrebbero stare in un piano per r, e non sopra una retta (^); 

 dunque in un piano di Q, e diverso da a e P, il che non è pos- 

 sibile. La curva C^, e il cono che la proietta da B, saranno 

 dunque di genere uno. Questo cono incontrerà ancora la super- 

 fìcie F'' secondo una curva di 3° ordine ò^, avente un punto a 

 comune con ogni sua generatrice; quindi anche di genere uno, 

 e perciò piana. Sarà questa la proiezione di un'altra delle 20 

 cubiche della superfìcie F^° (^). 



(*) Ricordiamo che la superficie F*" non ammette altre trisecanti, all'in- 

 fuori di quelle contenute nei piani delle sue cubiche. 



(*) Questa curva non passerà per A, perchè non vi'passa il cono cubico 



