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4r. Si può verificare ora facilmente che per la superficie F% 

 ovvero (il che fa lo stesso) per la F^*^ di cui essa è proiezione, 

 sono nulli tanto il genere geometrico, quanto il genere numerico. 

 — Il genere geometrico infatti è certamente nullo, perchè la su- 

 perficie F^° di S5 ha le sezioni non speciali (e su di essa non 

 esistono quindi curve canoniche) (Enriques: Mem. cit., n° 38, 

 p. 64-65). — D'altra parte, ogni superficie aggiunta alla F'' deve 

 contenere la curva C^, e ha quindi in B un punto (almeno) triplo 

 (perchè le sei tangenti a quella curva in B stesso non stanno su 

 di un cono di ordine inferiore al terzo (^) ). Inoltre, perchè una 

 superficie di ordine n avente già in B un punto triplo contenga 

 tutta la curva C^ (che è di genere imo) occorrono (al più) altre 

 9w — 18 condizioni (tante appunto essendo le intersezioni residue, 

 fuori di B, di questa curva con una F" avente in B un punto 

 triplo). A queste aggiungendo le 10 del punto triplo, e quella 

 del passaggio per A (che è punto triplo isolato di F^), si trova 

 che le F" aggiunte a F'' e linearmente indipendenti sono in nu- 

 mero di ("t^) — 9 w H- 7. E poiché quest'espressione si annulla 

 per w = 3 (ossia = 7 — 4), si conclude che è nullo anche il ge- 

 nere numerico di F^. 



5. Sulla superficie F^° di S5, di genere (geom. = num.) zero, 

 il sistema lineare oo^ ( j C | ) delle sezioni iperpiane è irreducibile, 

 semplice C), privo di curve fondamentali proprie (^), e a serie carat- 

 teristica non speciale (Castelnuovo: Mem. cit.. Sulle superficie di 

 genere zero; n** 1, p. 8). E poiché la curva generica di questo 

 sistema | C | non è iperellittica, e (come si vede facilmente) in 

 I C 1 stesso non è nemmeno contenuto un sistema lineare 00* di 



che la proietta da B; e perciò la cubica di F*° di cui h^ e proiezione non 

 incontrerà 'f. Di qui segue appunto che i 20 coni cubici della congruenza 

 (3, 7), supposta esistente, non dovrebbero avere, a coppie, nessuna genera- 

 trice comune. 



(') Esse sono infatti le intersezioni di quattro piani di una stella a due 

 a due; e, se la retta r è stata presa in modo generale, questi piani sono 

 tutti distinti, e tre qualunque di essi non passano per una stessa retta. 



(') Tale cioè che le curve di esso passanti per un punto generico della 

 superficie non hanno a comune altri punti variabili col primo. 



(^) Perchè la superficie F'" non ha punti multipli. 



