SULLE CONGRUENZE DI RETTE DEL TERZO ORDINE ECC. 718 



curve iperellittiche, cosi quelle stesse proprietà sopra enunciate 

 spetteranno tutte anche al sistema | C \ aggiunto di | C i 

 (Castelnuovo : Meni, cit., n" 7, p. 13); sistema che avrà la stessa 

 dimensione 5, perchè | C | è di genere 6 (=: .5 -|- 1), e si com- 

 porrà di curve di ordine 2 (6 — 1) = 10. Sulla superficie proie- 

 zione F'' il sistema | C | verrà segato dalle aggiunte di 4° or- 

 dine, che sono appunto in numero di co^; di queste, 002 si 

 spezzeranno nel cono cubico che da B proietta la curva doppia 

 di F'' e in un piano variabile per A. Per avere il grado di 

 questo sistema, basterà cercare in quanti punti una curva ge- 

 nerica (r/^°) di esso incontra una delle curve spezzate nella 

 cubica b^ e in una sezione piana passante per A. Ora, la cu- 

 bica ò^ è incontrata da una F^ aggiunta generica in 12 punti, 

 dei quali però 9 stanno sulla curva doppia di F'' ; ne rimangono 

 quindi tre sulla C'^° intersezione residua delle due superfìcie. E 

 una sezione piana di F'' passante per A incontra una tale C"" 

 in 10 punti, dei quali però 3 cadono sempre in A stesso (dove 

 ogni C'i^ ha un punto triplo) e vanno quindi esclusi ; ne riman- 

 gono sette, che, aggiunti alle tre intersezioni con ò^, danno ancora 

 dieci. Il sistema | C | è dunque anch'esso di grado 10, e quindi 

 — dovendo avere la serie caratteristica completa (^) e non spe- 

 ciale — di genere 6 (^) ; esso ha perciò gli stessi caratteri (ge- 

 nere, grado, dimensione) del sistema primitivo | C | (^). Segue da 

 ciò che non solo j C | segherà sulla curva generica di | C | la 

 serie canonica gii, ma, viceversa, anche | C | segherà sulla curva 

 generica di | C | la relativa serie canonica, che è pure una g^t 

 Infatti questa serie segata sopra una C generica dal sistema 

 lineare | C | (ossia dagli iperpiani di S5) ha ancora l'ordine 10 e la 

 dimensione 5 ; e di serie così fatte sopra una curva di genere 6 

 non vi è appunto che la sola serie canonica. Il sistema | C | deve 



C) Perchè si tratta di sistema normale, sopra una superficie avente il 

 genere geometrico eguale al genere numerico (Castelnuovo, Alcuni risul- 

 tati..., n" 7, p. 18). 



(^) D'altronde 6 è pure il genere della curva riducibile h^ + C^ teste 

 considerata. 



(') Sulla superficie F'° di Sr, la curva C generica sarebbe dunque una 

 curva canonica di genere 6 (Cg'' di Sr,). 



