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dunque coincidere col sistema j C \ aggiunto a | C I (Castelnuovo : 

 Mem. cit., nota (^) a p. 9; cfr. anche p. 18) (^), e perciò la serie 

 dei successivi aggiunti di | C | risulta illimitata (coincidendo 

 questi sistemi alternativamente con | C | e con | C | stesso). La 

 superfìcie di cui si tratta non può dunque essere razionale 

 (Castelnuovo: Mem. cit., n° 7, p. 14), e avrebbe anzi precisamente 

 il big enere P:= 1. 



Piìi generalmente, per asserire che una superficie non è 

 razionale, basta il fatto che un sistema lineare | C | avente le 

 proprietà di cui sopra e il suo (primo) aggiunto | C | hanno la 

 stessa dimensione r^=r' e lo stesso genere p =y. Si osservi 

 infatti che ciò è possibile soltanto per r=p — 1 (come è appunto 

 nel nostro caso) ; e allora il sistema | C" | aggiunto a | C | , qua- 

 lunque esso sia, ha ancora la stessa dimensione p — \=r = r''; 

 sicché le tre dimensioni r, r', r", essendo eguali fra loro, non 

 soddisfanno a nessuna delle due diseguaglianze: 



r" < r' 

 r — r < r — r 



una almeno delle quali deve verificarsi sopra ogni superficie 

 razionale (Castelnuovo: 1. e, n° 12, p. 18). 



6. Non essendo dunque razionale la superficie F^^, e quindi 

 la F'^ sua proiezione in Sg, quest'ultima dovrà necessariamente 

 ammettere almeno una superficie hiaggiunta di ordine (2 \n — 4j 

 per n = 7, ossia) sei; se no appunto, avendo già il genere (geom. 

 = num.) zero, essa sarebbe razionale (Castelnuovo: 1. e, n" 14, 

 p. 20). Ora, una superficie hiaggiunta a F'' (1. e, n*' 11, p. 17) 

 deve contenere la curva doppia C^ anche come curva doppia, e 

 avere ancora in A un punto doppio. E poiché l'intersezione 



(') Infatti, se I C" I non coincidesse con | C |, vi sarebbero, fuori di | C | 

 stesso, altre curve subaggiunte (di rango zero) a I C |, seganti cioè gruppi 

 canonici sopra una C generica (ENRitìUES, Mem. cit., n° 19, p. 34). Il sistema 

 subaggiunto a I C I sarebbe dunque almeno 00® (piìi ampio cioè del sistema 

 aggiunto), e non potrebbe perciò segare sopra una C generica una serie 

 solo 00" senza contenere questa C, il che non può avvenire, avendo il 

 sistema | C I la serie caratteristica non speciale. 



