INTORNO AL GRUPPO DI SOSTITUZIONI RAZIONALI ECC. 807 



Nel 1" caso si ha qualunque sia p: 



e^a = a 



e quindi la funzione 92"^''a non può rappresentare una sostitu- 

 zione. 



Nel 2** caso invece, se r è l'ordine di 82^, i termini della 

 serie 



a, 020, eia,.... Ga^'^a 



sono tutti distinti e rappresentano i valori di cui è suscettibile 



l'indice z. Se dunque è Pi quello dei numeri 0,1, r — 1, 



che fa assumere a 9'''a il valore z = Zi, la congruenza 



n{z) = Pi 



dovrà ammettere una ed una sola radice. 



Se ne conclude: 



" Affinchè (^{z) = 02"'''a rappresenti effettivamente una so- 

 stituzione, è necessario e sufficiente che a sia una costante reale 

 distinta dalle radici della congruenza 



02^ = Z 



e M (z) rappresenti essa stessa una sostituzione „ (*). 



4. Indichiamo generalmente con Zq, Zi; Zq' , z^' ; le radici 

 delle congruenze QiZ = z, 02^ ^ z rispettivamente, 0, se si vuole, 

 gli indici che queste sostituzioni lasciano immobili, 



a) Ciò posto consideriamo dapprima le sostituzioni intere 

 d'ord. p. 



Allora 



Zq= Zi =00; z' Q = z'i = CO; r = p. 



(*) Si osserverà che le considerazioni precedenti, con leggiere modifi- 

 cazioni, sono applicabili a molti altri gruppi, le cui sostituzioni siano defi- 

 nite analiticamente. 



