INTORNO AL GRUPPO DI SOSTITUZIONI RAZIONALI ECC. 813 



faccia parte della serie, basta evidentemente che s^ e Sg siano 

 permutabili. Questa condizione non è tuttavia necessaria che 

 se n = 2. 



Separiamo dalla serie s^, S2 , S3, ... s^ quelle sostituzioni 

 5.2; %! . • • ■s»', che sono permutabili con una qualunque delle so- 

 stituzioni della serie, ad es. s^; dall'insieme «2; -^s; • • • •Sr,, le 

 sostituzioni S3; S4, . . . Sr^ permutabili con una qualunque dell'in- 

 sieme, S2; e così di seguito. Ripetiamo la stessa operazione par- 

 tendo da tutte le altre sostituzioni S2, s^^ . . . s^ della 1^ serie 

 successivamente. Otterremo così un certo numero di gruppi 

 composti di sostituzioni permutabili e aventi la proprietà di 

 essere tutte radici dell'equazione X" = 1. 



E facile d'altronde riconoscere che prendendo per n suc- 

 cessivamente tutti i divisori dell'ordine del gruppo dato, si ot- 

 tengono nel modo suindicato tutti i sottogruppi di sostituzioni 

 permutabili del gruppo stesso. 



Infatti in ogni gruppo di sostituzioni permutabili si può 

 determinare un sistema di sostituzioni generatrici s^, s^, s^. . . 

 degli ordini t^, U, ^3, • • . rispettivamente e tali che il prodotto 



5f' sf» s^ ... (cj, = 1, 2, ... Q 



rappresenta tutte le sostituzioni del gruppo. 



Inoltre ciascuno dei numeri t^, t^, ^3, • • • è divisibile pel_ 

 seguente; il numero ti è il minimo comune multiplo delle sosti- 

 tuzioni del gruppo; e l'ordine del gruppo è ^ = ^1 ^2 ^3 • • • (*)• 



Adunque tutte le sostituzioni del gruppo soddisfano alla 

 equazione 



X'i=l; 



dunque, ecc. 



10. Consideriamo in particolare il gruppo G. 

 Due sostituzioni permutabili che non sono potenze di una 

 stessa sostituzione, sono, com'è noto, di 2° ordine. 



(*) Netto, Op. citata, n. 133. 



