814 GIKOLAMO CORDONE 



Le sostituzioni dei gruppi di sostituzioni permutabili con- 

 tenuti in G sono dunque tutte radici dell'equazione 



X2 = 1. 



Sia Qz una sostituzione qualunque di 2" ordine. Se si pon- 

 gono in evidenza gli indici reali o imaginarii, Zq, z^, ch'essa 

 lascia immobili, avrà la forma 



9^ __ — 2'(^o4-gi) + 2go^i 



— 2z + Zq-\-Zi 



Tutte le sostituzioni permutabili con %z si avranno dalla 

 formola 



Q,{z, X) = ^^~^^^° + ^'^ + ^''^^ 



attribuendo a X i valori 0,1, . . . p — 1, oo; esclusi tuttavia i 

 valori 2'o , ^1 , se questi sono reali. 



Si riconosce poi facilmente che esiste una ed una sola so- 

 stituzione permutabile con Qz e Q-^z, cioè la sostituzione 



e,(^, X) — ^_e(x) ' 



per ogni dato valore di X. 



Le sostituzioni (62;, 81(2;, Xq), %{z,\(^, 1) costituiscono dunque 

 un gruppo K di AP ordine, composto di sostituzioni permutabili. 



Bisogna tuttavia osservare che sono soltanto ^~ i gruppi di- 



stinti corrispondenti ai varii valori di X; perchè sono identici i 



gruppi corrispondenti ai valori X^ e G(Xj) di X, 



• v -f- 1 

 Partendo da un'altra sostituzione Q'z appartenente ai ^~ 



gruppi già considerati, si avranno altri ^— gruppi di 4** or- 



dine, K', di cui uno però coincide con quello dei gruppi prece- 

 denti, che contiene 9'^. 



