SUGLI INTEGRALI ALGEBRICI DELLE EQUAZIONI DINAMICHE 817 



come caso particolare da un notevole teorema del sig. Painlévé (*), 

 rilevo che esse servono, insieme ad a), a riportare la classifica- 

 zione dei problemi dinamici, dal punto di vista degli integrali 

 algebrici, che essi posseggono, al solo caso, in cui non agiscono 

 forze esterne e pel solo tipo degli integrali omogenei. Il campo 

 di ricerca si trova così naturalmente ristretto ; io prescinderò 

 tuttavia anche dagli integrali fratti, limitandomi ad esporre, 

 nell'ultimo paragrafo, sotto forma invarianti va, la condizione ne- 

 cessaria e sufficiente, affinchè un sistema materiale a legami 

 indipendenti dal tempo e non soggetto a forze ammetta un in- 

 tegrale intero, omogeneo rispetto alle velocità. La forma di co- 

 desta condizione, che mi apparve assai importante per lo studio 

 delle trasformazioni in meccanica, generalizza ovviamente quella 

 assegnata dal Prof. Ricci (**), affinchè esistano integrali primi 

 omogenei delle linee geodetiche in una varietà a due dimen- 

 sioni: Per il caso particolare degli integrali di primo grado, 

 essa riproduce, salvo la diversità dei simboli, un risultato sta- 

 bilito, collo stesso nostro procedimento, dal Prof. Cerruti (***) e 

 da lui interpretato geometricamente in modo assai elegante. 



2. — Sia T la forza viva di un sistema materiale S e si 

 ponga in coordinate lagrangiane: 



T = — 2^^arsq'r q's -|- 2^J^rq'r + T , 

 1 1 



le ars, ar e T essendo in generale funzioni delle q e del tempo. 

 Le equazioni del moto, se si dica Q^ (che supporremo di- 

 pendere dalle coordinate e dal tempo in modo qualunque, e 

 razionalmente dalle velocità) la componente della forza secondo 

 la coordinata g/j, saranno: 



1, 2, ... , n) 



(*) Sur les intégrales de la dynamique, " Comptes Rendus „, maggio 1892. 



(**) Sulla teoria delle linee geodetiche, ecc. " Atti del R. Ist. Veneto „ , 1894. 



(***) Sopra una proprietà degli integrali di un problema di meccanica, che 



sono lineari rispetto alle componenti della velocità, " Rendiconti dei Lincei „, 1895. 



